為什麼sin(x)的導數是cos(x)?

作者：由 zdr0 發表于娛樂時間：2020-05-13

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忙裡偷閒，寫一篇小短文，討論兩個簡單的問題。

為什麼

$\sin(x)$

的導數是

$\cos(x)$

？

為什麼

$\cos(x)$

的導數是

$-\sin(x)$

？

這是兩個老生常談的問題，證明的方法有很多。這裡，我打算提供一種純幾何的“證明”方式。這種方法只需要初中數學知識就可以完成“證明”。

我們來看圖片1：

在圖片1中我們可以清楚的看到，由於四分之一圓的半徑是

$\color{teal}{R=1}$

，所以，豎直的橙色虛線的長度的是：

$\large\color{darkorange}{D=R\cdot \sin\left(\alpha\right)=1\cdot \sin(\alpha)=\sin(\alpha)}\tag{1}$

豎直的紅色虛線的長度是：

$\large\color{red}{\overline{D}=R\cdot \sin\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)=1\cdot \sin\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)=\sin\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)}\tag{2}$

則：

$\large\color{green}{d}=\color{red}{\overline{D}}-\color{orange}{D}=\color{red}{\sin\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)}-\color{orange}{\sin(\alpha)}\tag{3}$

式

表示的是當角度從

$\color{darkorange}{\alpha}$

轉動一個

十分微小

的角度

$\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}$

到角度

$\color{red}{\alpha+\mathrm{d}\alpha}$

時，正弦值的增量。這個增量顯然是長度

$\color{green}{d}$

，現在我們需要來求解一下這個長度

$\color{green}{d}$

。為了求解長度

$\color{green}{d}$

，我們將圖片1中的綠色三角形的部分放大：

圖片2

圖片2就是放大之後的圖片。回憶弧長公式：

$\large l=\alpha\cdot R\tag{4}$

其中，

表示弧長，

$\alpha$

表示該段弧所對應的圓心角，

是圓的半徑。所以，在圖片1（圖片2）中：

$\large\color{teal}{l}=\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}\cdot \large\color{teal}{R}=\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}\cdot \large\color{teal}{1}=\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}\tag{5}$

所以，這段弧長也是十分微小的。這就意味著，當我們“無限”放大這一小段弧長時，這段弧長可以近似為一條直線（見圖片2）。

實際上不需要去放大這一段弧長，因為它已經足夠小了，所以它本身就可以近似為一條直線。放大的原因是為了好理解。

現在，連結

$\LARGE\color{red}{\bullet}$

和

$\LARGE\color{darkorange}{\bullet}$

，如圖片3中的青線

$\color{cyan}{—}$

所示：

圖片3

注：因為我的程式碼能力有限，所以，下面的一些角度和線段我只能使用文字描述了，大家見諒。

圖片3中的青線

$\color{cyan}{—}$

是圓的一條割線，可以想象，當紅色點

$\LARGE\color{red}{\bullet}$

充分接近

橙色點

$\LARGE\color{darkorange}{\bullet}$

時（即轉動的角度

$\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}$

充分小

時），這條青色的割線將趨近於橙色點

$\LARGE\color{darkorange}{\bullet}$

處的圓的切線。而我們知道，

連結圓心與切點的半徑是垂直於切線的

。所以，在轉動的角度

$\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}$

充分小

時，可近似認為圖片1中的橙色實線半徑垂直於這條青色的割線

$\color{cyan}{—}$

。不僅如此，在轉動的角度

$\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}$

充分小

時，這這條青色的割線

$\color{cyan}{—}$

還近似於弧

$\color{teal}{l}$

。

那麼在圖片1中就會出現兩個相似三角形，我將它們分別用橙色和青色進行重新進行標識，如圖片4所示：

圖片4

則由相似性可知，圖片4中的青色三角形在紅色點

$\LARGE\color{red}{\bullet}$

處的角度是

$\color{darkorange}{\alpha}$

：

圖片5

在圖片5的青色三角形中，斜邊長近似為弧

$\color{teal}{l}$

的長度，即

$\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}$

，所以有：

$\large\color{green}{d}=\color{orange}{\cos({\alpha})}\cdot\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}\tag{6}$

所以，由式

和式

有：

$\large\color{green}{d}=\color{red}{\sin\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)}-\color{orange}{\sin(\alpha)}=\color{orange}{\cos({\alpha})}\cdot\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}\tag{7}$

即：

$\large\frac{\color{red}{\sin\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)}-\color{orange}{\sin(\alpha)}}{\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}}=\color{orange}{\cos({\alpha})}\tag{8}$

再來說一說第二個問題。

圖片6

在圖片6中，綠色的長度

$\color{green}{s}$

表示的是當橙色的半徑從角度

$\color{orange}{\alpha}$

轉動角度

$\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}$

到紅色半徑時，餘弦值的增量。只不過這個增量是負的，即：

$\large\color{green}{}$

$\large\color{green}{-s}=\color{red}{\overline{S}}-\color{orange}{S}=\color{red}{\cos\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)}-\color{orange}{\cos(\alpha)}\tag{9}$

而求解這個長度

$\color{green}{s}$

，我們依然可以使用之前的所述的近似和青色的小三角形。由於長度

$\color{green}{s}$

就是青色的小三角形的短直角邊，所以：

$\large\color{green}{s}=\color{orange}{\sin({\alpha})}\cdot\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}\tag{10}$

則由式

和式

可得：

$\large\color{green}{-s}=\color{red}{\cos\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)}-\color{orange}{\cos(\alpha)}=-\color{orange}{\sin({\alpha})}\cdot\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}\tag{11}$

即：

$\large\frac{\color{red}{\cos\left(\alpha+\mathrm{d}\alpha\right)}-\color{orange}{\cos(\alpha)}}{\color{blue}{\mathrm{d}\alpha}}=-\color{orange}{\sin({\alpha})}\tag{12}$