cos²θ = 向量a² · 向量b² ╱ |向量a|² · |向量b|² ＝ 1 ? 合不合理？

天下無難課2019-10-06 18:28:59

cos²θ=1是不合理的，因為a²·b²=|a|²·|b|²，根本沒有cosθ什麼事，何來cos²θ=1呢？

你看啊，對於a·b=|a||b|cosθ （1），這個式子沒錯的。但a²是啥？題主是指a·a吧？那麼就有a²=a·a=|a||a|cos0=|a|²，對吧？這樣，a²·b²=|a|²|b|²，關cosθ啥事？

題主應該是從式（1）兩邊各自自乘，得出了cos²θ=1的推論的。但式（1）左邊本是一個兩向量的點積，啥是點積？點積就是兩個向量的同坐維度上的數值相乘，然後求和，得到一個數值。在這種情況下，式（1）左右關係成立，cosθ起作用。但a²·b²的意思是兩個數值（a，b各自的模長）相乘，當然就直接等於|a|²|b|²。a²並不是一個向量，b²也不是，它們的乘積是a和b兩個向量各自模長的數乘，與a和b之間的夾角無關。

式（1）可以在等式左右計算完畢後再各自做乘法的，數值保證還是相等，但不能偷換概念，把數乘與向量點積混淆，推出cos²θ=1來。

阿九2019-10-06 18:42:13

我不清楚知乎上怎麼輸入公式。

所以只能簡單說。

就是對於向量（ab）c不等於a（bc）。

向量不遵守交換律。

所以（ab）（ab）不等於（aa）（bb）

五維都2019-10-09 13:03:19

不合理

BobG2019-10-13 02:48:36

沒有結合律啊！關交換律什麼事？

交換律指的是ab=ba，顯然這對於向量乘法是成立的。

為什麼說是結合律呢？因為由結合律有：

a2b2=（aa）（bb）=aa（bb）=a（a（bb））=a（（ab）b）

此時才用交換律交換最裡層的ab，接著有：

a（（ab）b）=a（（ba）b）=（a（ba））b=（（ab）a）b=（ab）（ab）

而向量內積不滿足結合律，aa（bb）=a（a（bb））這裡就做不成了。

Reimu Hakurei2020-08-15 11:41:16

題主是不是以為

？

……不是，誰會這麼教啊（

所以我強烈反對把

寫成

的行為，因為這樣容易使人混淆點積與乘法。

實際上無論是點積還是叉積，都和乘法完全不同。點積滿足交換律，沒有結合律（都不是個封閉的運算）；叉積滿足反交換律，沒有結合律。何況

就比

多個乘法，性質就大有不同了。

我們當然可以定義

，然而這時已經變成了

，不再是

了。

你看

的乘法性質多麼良好啊。

完全成立的嘛。