從九章算術開始的開方法
一，推導
今有積五萬五千二百二十五步。問方為幾何。
開方術曰：“置積為實，借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除，折法而下。復置借算步之如初。以複議一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復除折下如前。”
——《九章算術》
對於任意正實數
，可以將其分解為兩個正實數之和
的形式，且有
，觀察該等式結構可得出結論：
欲求一個正實數 #FormatImgID_4# 的平方根，可以先求出另一個不大於 #FormatImgID_5# 的正實數 #FormatImgID_6# 的平方根，然後配湊 #FormatImgID_7# 求解。
為便於表述，在此約定
稱作
的部分，
稱作
該部分的部分平方根。
![\exists c\in \textbf{N} \cap \left[ 0,9 \right],n\in \textbf{Z}\space\space](https://img.heatask.com/upload/website_attach/+lPuU5=b2tHDkMVG7=kLw4eNTEvm6FSiKJ5uTcsmjqwPV583ieSBW3hwk=teTU_qwF2DYjfrxqwPVrzC+WdsPZCgtlZeZbS2eF5YYjfrxpYP-fy3ieLmnzeUOUIeZbS2Jt29T5a2iyUP7RlGqcICwbC4ZaJ0k=S9K=Z3XV8sdEWDP=_8xBSX-bTgZaJ0xAtFeFhBT.jpeg)
使
，則
①
對於任意0到9之間的實數，其平方均小於100，
位數
表示為
②
其中
，令
，考慮①的形式，取
為
下
可能的最大值。
設
，先僅考慮
，嘗試求出
的平方根（這同時也是
的部分平方根）取非負整數
使
且差最小，設差為
。
現在得到了一個數
，這個數除了最高兩個數位之外其它數位（包括小數位）都是零，在所有數位相同且除最高兩位外均為零的數中，它是不大於且最接近
的平方根的數，
。
是
的一個部分平方根，現在再考慮
，即不斷擴大
的部分，並不斷擴大
的部分平方根，並最終求出
的平方根。
二，筆算開平方
根據上一節的內容，現在已經可以歸納出計算正實數平方根的一般方法，現以
為例。
以小數點處為基準，將P每兩位進行一次劃分，即
。
取最左邊的劃分，令其為
，即
，使
取下一個劃分，令其為
，即
，考慮
，故
，
。重複上述步驟，考慮
，得
，
；
直到到此步，計算出的結果為202。3，
的確切值在202到203之間。
這樣的計算雖然可以手動完成，但用計算機來幫忙顯然是更明智的，從演算法的角度考慮，這是一個實現及其容易的迭代演算法。
#include
#include
#include
double
sqrt
（
const
char
*
number
）
{
using
namespace
std
；
int
ans
=
0
；
int
decimal_seg
［
12
］；
memset
（
decimal_seg
，
0
，
sizeof
（
decimal_seg
））；
vector
<
int
>
integer
；
stack
<
int
>
integer_seg
；
bool
point
=
false
；
int
n
=
0
；
while
（
*
number
）
{
if
（
*
number
！=
‘。’
）
{
if
（
！
point
）
integer
。
push_back
（
*
number
-
‘0’
）；
else
decimal_seg
［
n
++
］
=
*
number
-
‘0’
；
}
else
point
=
true
；
number
++
；
}
for
（
int
size
=
integer
。
size
（），
a
；
size
；
size
=
integer
。
size
（））
{
a
=
integer
［
size
-
1
］；
if
（
size
-
2
>=
0
）
a
+=
integer
［
size
-
2
］
*
10
；
integer
。
pop_back
（）；
if
（
！
integer
。
empty
（））
integer
。
pop_back
（）；
integer_seg
。
push
（
a
）；
}
int
a
=
integer_seg
。
top
（），
p
；
integer_seg
。
pop
（）；
if
（
a
）
for
（
int
i
=
9
；
i
>=
1
；
i
——
）
{
if
（
i
*
i
<=
a
）
{
ans
+=
i
；
p
=
a
-
（
i
*
i
）；
break
；
}
}
else
{
p
=
0
；
}
while
（
！
integer_seg
。
empty
（））
{
p
*=
100
；
p
+=
integer_seg
。
top
（）；
integer_seg
。
pop
（）；
for
（
int
i
=
9
；
i
>=
0
；
i
——
）
{
if
（（
ans
*
20
+
i
）
*
i
<=
p
）
{
p
-=
（
ans
*
20
+
i
）
*
i
；
ans
*=
10
；
ans
+=
i
；
break
；
}
}
}
int
point_assis
=
1
；
for
（
int
i
=
0
；
i
<
2
*
6
；
i
+=
2
）
{
p
*=
100
；
p
+=
decimal_seg
［
i
］
*
10
+
decimal_seg
［
i
+
1
］；
for
（
int
j
=
9
；
j
>=
0
；
j
——
）
{
if
（（
ans
*
20
+
j
）
*
j
<=
p
）
{
p
-=
（
ans
*
20
+
j
）
*
j
；
ans
*=
10
；
ans
+=
j
；
point_assis
*=
10
；
break
；
}
}
}
double
true_ans
=
ans
；
true_ans
/=
（
double
）
point_assis
；
return
true_ans
；
}
輸出精度為小數點後六位。
