群的基本概念
抽象代數的研究物件是代數結構，即帶有運算的集合。集合雖然沒有一個好的定義，但我們已經算是熟知了。因此從運算的定義開始。運算就是把兩個集合中的元素，對應到另一個集合中的規則。
1. 代數運算
設
均是非空集合，則
到
的任一對映
，稱為
與
到
的一個
代數運算
。
2. 二元運算
當
時，即
與
到
的代數運算，也稱為
中的
二元運算
或
運算
。
以後談到的運算基本都是指二元運算。二元運算保證了運算的
封閉性
。
3. 關係
如果有一種性質
，使集合
中任意兩元素
，或者有性質
，或者沒有性質
，二者必居其一，我們就說
給定了
中的一個
關係
。當
有性質
時，稱
與
有關係，記為
。
4. 等價關係
若集合
的一個關係
滿足：
反身性：
，
；
對稱性：
，
；
傳遞性：
，
。
則稱關係
為
的一個
等價關係
。
有了代數結構的概念以後，我們希望研究一些特殊的代數結構。我們讓集合或運算滿足一些條件，然後再來研究這個代數結構。
5. 半群
設非空集合
中有一個二元運算
，且該運算滿足結合律，則稱代數體系
是一個半群，也簡稱
是一個
半群
。
半群中的運算需要滿足封閉性、結合律。
6. 么元
若半群
中存在一個元素
，使
則稱
為
的左（右）么元。若
，既是
的左么元，又是
的右么元，則稱
為
的
么元
，也稱為單位元。
7. 么半群
有么元的半群稱為
么半群
。
8. 逆元
設
是么半群，
是么元，若存在
，使
則稱
為
的左（右）逆元。若
既是
的左逆元，又是
的右逆元，則稱
為
的
逆元
，記為
，稱
為可逆元。
9.群
一個么半群
中如果每一個元都是可逆元，則
就稱為
群
。若運算
還滿足交換律，則
就稱為
交換群
，或
阿貝爾(Abel)群
。
群
還有其他幾種等價的定義暫不列出。群裡的運算需要有封閉性、滿足結合律、有么元、任意元素可逆。
10. 子群
設
是群
的一個非空子集，如果
對於
的運算也構成群，則稱
為
的一個
子群
，記作
。
子群有幾種判別法，比較重要的一個是
。
11. 商群
設
是群，
，
是
中由
定義的關係，則
此時，商集合
對同餘關係
匯出的運算也構成一個群，稱為
對
的
商群
，記為
。
12. 同態與同構
設
與
是兩個群，
是
到
的一個對映，如果
。則稱
是
到
的一個
同態對映
，簡稱
同態
。若
與
是同一個群，則稱
是
自同態
。若同態
還是單射，則稱
是
單同態
；若同態
還是滿射，則稱
是
滿同態
。當
是滿同態時，稱
與
是
同態
的，記為
。若同態
還是雙射，則稱
是
到
的一個
同構對映
，簡稱
同構
。此時稱群
與
是
同構
的，記為
。
12. 自然同態
設
是一個群，
，記
是
到
的對映，
。則
是滿同態，稱
為群
到商群
的
自然同態
。
13. 核
設
是群
到群
的同態，則
的么元
的完全原象
稱為同態對映
的
核
，記為
。且容易證明
。
14. 群的同態基本定理
設
是群
到群
的滿同態對映，則
。
以上內容均出自顧沛、鄧少強教授的《簡明抽象代數》。
