貝爾不等式的實驗到底說了什麼
我看了很多關於貝爾不等式的解釋，但都需要用到一些量子力學的基礎。沒有看到一篇文章真正的能用通俗的話，把糾纏態和貝爾不等式解釋清楚的。所以打算寫一篇文章來講解，儘量讓初中生都能看懂。（寫完之後，發現寫的其實挺囉嗦的。如果你對某一章節的標題完全瞭解，可以跳過這一章節。）
我覺得不講清糾纏態和探測器，是不可能理解貝爾不等式的。
糾纏態
想對貝爾不等式的雙方球員（小愛vs小玻）的配置有一個瞭解的，可以看下面這篇文章。
https：//
zhuanlan。zhihu。com/p/28
168375
簡單來說原本處於同一系統的兩個處於糾纏態的粒子，在某一時刻把它們分開，它們之間某些狀態是相互關聯的。改變其中一個粒子的狀態，就會瞬間影響另一個粒子的行為。這種影響是無需傳輸介質，超光速的，也就是說就算是這兩個粒子處於宇宙的兩端，只要它們之間的糾纏態沒有消失，改變一個粒子的狀態，另一個粒子也將瞬間作相應的改變。
簡單的說，一個粒子打在BBO晶體上，出來了兩個糾纏粒子A和B，其中一個糾纏粒子的物理量（比如說自旋）是上，另一個就是下；如果一個是左，另一個就是右。這樣子。
這就好像一雙手套，發現一隻是左手的，另一隻就一定是右手的。
波爾說，把手套分別裝在盒子裡，你不知道哪個盒子是左手的，每個盒子的手套都處於左手和右手的疊加態。當你開啟一個盒子，這個盒子就呈現出一個手型，並且告訴另一個盒子，你要跟我不一樣的手型。
愛因斯坦就說了，扯什麼糾纏態啊，在手套生產出廠的時候就確定了哪隻左手的，哪隻右手的，這是確定的。即使你把它分開裝到盒子裡，運到宇宙的兩端，我開啟盒子看到一隻是左手的，另一隻肯定是右手的，只是提前確定好的，並不存在什麼左手和右手的疊加態，更沒有隱形通訊。只是我們不知道而已。
貝爾說，我感覺小愛說的對，我想出來一個絕妙的方法可以證明。但這裡寫不下，我到最後再說。
探測器
首先處於糾纏態的粒子並不是像手套那樣簡單的只有左右。它會有一個方向（比如自旋，你不需要知道啥是自旋，總之就是一個物理量），如果A的方向是12點方向，那麼B的方向就是6點方向。如果A是10點方向，那麼B就是4點方向。糾纏粒子A和B的方向總是相反。
但不幸的是，我們的探測器並不能直接探測粒子的方向。探測器只能探測一個“大的方向”：
比如探測器探測1點方向，那麼如果被探測的粒子在10點-11點-12點-1點-2點-3點-4點，這半個圓的方向，探測器就會說：我猜對了！（我們記作“+”）。
同樣，如果被探測的粒子在4點-5點-6點-7點-8點-9點-10點，這半個圓的方向，探測器就會說：！@#￥%……&*（我們記作“-”）。
想一想
【第1個你需要想明白的點！】
所以，我們用兩個反向（夾角為180°）的探測器探測糾纏粒子對。比如，用探測器［甲］探測糾纏粒子［A］，用［乙］探測［B］。那麼兩個探測器的的結果必然一致。
【第2個你需要想明白的點！】
我們現在把問題複雜化一點！
首先我們知道，粒子的方向是隨機的。所以探測單個粒子時，結果有50%機率是“+”，有50%是“-”。
例題1
：有糾纏粒子對A和B。如果甲探測器探測12點方向，甲探測A結果為“+”。乙探測5點方向，那麼乙探測B為“+”的機率有多大？
由於甲探測器探測12點方向，併為+，所以A粒子的方向在9點-10點-11點-12點-1點-2點-3點範圍中，所以B粒子的方向應為3點-4點-5點-6點-7點-8點-9點中。
乙探測器探測5點方向，所以探測2點-3點-4點-5點-6點-7點-8點範圍內為“+”。
合併（取交集）起來，如果B在3點-4點-5點-6點-7點-8點中這5個區域，乙探測為“+”，如果B在8點-9點這個區域中，則乙探測為“-”。
所以乙探測B為“+”的機率為5/6。
例題2
：如果甲探測器探測7點方向，乙探測3點方向，兩個探測器探測結果同號的機率有多大？
我們不妨設甲探測探測其中一個糾纏粒子A的結果定義為“+”。也就是說，A在7點這半個圓的探測結果為“+”，那麼粒子B就應在另外半圓（10-11-12-1-2-3-4）。
與乙探測器3點方向（12-1-2-3-4-5-6）的重疊的區域就佔4/6。兩個探測器探測結果同號的機率就為2/3。
課後作業
：如果甲探測器探測2點鐘方向，乙探測器探測3點鐘方向。問：兩個探測器探測結果相同的機率有多大？
答案是1/6。請自己獨立思考解題過程。
如果沒搞明白這個，下面的貝爾不等式的正題是沒辦法理解的。
探測角與機率
我們發現一個結論：
兩個探測器的夾角
探測結果相同的機率
換算成相關性
0°
0
-1
30°
1/6
-2/3
60°
1/3
-1/3
90°
1/2
0
120°
2/3
1/3
150°
5/6
2/3
180°
1
1
*課外讀物：為了方便理解，這裡把貝爾不等式的相關性換成了小朋友更容易理解的機率。其實兩者是等價的，請有興趣的讀者自己推導。
我模擬了4萬次試驗，統計結果如下圖所示。（橫座標為探測器夾角，縱座標為相關係數。）
下圖稱為圖1
前提假設
首先我們回顧一下上面的結論。
我們有A、B兩個糾纏粒子，有甲、乙兩個探測器。然後進行了上面的推理。
但這些都有一個前提假設，就是我們在探測A和B之前，A和B就有一個給定的方向了。
這樣才能做出上面的推理。
也就是說，我們先給定了A和B的方向，並且是相反的。然後再用探測器看，才有上面的結論。
比如說，先給定了A和B的方向，我們不知道具體是什麼方向，但是它倆反向。這時候，如果我們測定了A在上面的半圓（9-10-11-12-1-2-3），就知道B一定在下面的半圓（3-4-5-6-7-8-9）。由於A的方向是等機率隨機的，所以B在下面任一位置的機率都相等。
如果沒有這個假設，就有可能有這種情況
：
A和B並沒有提前給定方向，而是在探測器測量之後，才確定的。比如說：
A在探測之前沒有確定的方向，而是各個方向的機率都相同、各個方向的疊加態。
當A被探測的時候，比如被探測器甲在12點方向探測，A就告訴B：
“老鐵，我被探測了，它探測我在不在12點方向這個半圓（9-10-11-12-1-2-3）裡面，我給出了“+”的探測結果。所以你只能在另外半圈裡面了。”
B說：“知道啦，我會在下面這半圈（3-4-5-6-7-8-9）裡面挑個方向，如果探測器乙猜對了，我也給它個“+”結果。”
但是B在下面半圈的機率卻不是相等的，由於探測器甲是向12點方向探測，所以在B知道這個結果後，會使5-6-7點的機率大一些，在3-4、8-9點的機率小一些［文末做補充說明］。並不是等機率的。
我也模擬了4萬次試驗，如果A和B之間能夠“通話”，那麼探測器角度和探測結果的相關性如下圖所示。
下圖稱為圖2
貝爾不等式
貝爾說，我想到一個絕佳的辦法，能夠檢測出來你倆誰說的對。下面的地方挺大，我寫出來吧。
這個就是貝爾不等式，理解他需要一些數學知識和“相關性”這個概念。
呃，看一眼之後，忘掉這個公式吧。本文中不需要理解這個公式。
好吧，然後，貝爾說那我們做個試驗吧，來看看圖1和圖2哪個正確。
（PS：其實貝爾只提出了想法，但我們假裝實驗也是他做的。）
實驗結果支援圖2。
（下面這個想看就看看，看不懂不看也行。）
https：//
zhuanlan。zhihu。com/p/20
202069
意義
我們上面做出過推導：
如果糾纏態的兩個粒子是不可以互相聯絡的，或者它們之間是提前寫定好狀態的，不存在不確定原理、不存在波函式，所謂的不確定原理只是我們的儀器裝置不先進，或者有未發現的不能超光速的“隱變數”，導致測量不了粒子已經寫定的狀態。
那麼，無論怎樣，實驗結果都會是圖1那樣子。
但實驗結果卻否定了圖1。也就意味著實在性、局域性這二者不能都成立。這就是貝爾不等式實驗的意義。
這局，是玻爾贏了。
它說明波函式這東西是存在的，當粒子未被觀測的時候，他就是波函式。當我們觀測的時候，才坍縮為一個點。而不是一直都是一個點。這個坍縮是按波函式（的模方）分佈的，是真隨機，不存在隱變數。
簡單的說，就是當你沒開啟盒子的時候，他就真的是——既是左手套，又是右手套。
防止你過分解讀
那貝爾不等式是不是說明存在超光速傳遞資訊呢？
不是。探測器A和B，兩邊探測到的結果是：每個方向的粒子數量都一樣。只有把兩個探測器的結果拿到一起，才知道如果A探測在⬅️，則B在➡️附近的機率大些。它們之間只傳遞了“相關性”，而相關性只有兩邊結果彙總到一起，才能得出。
（就是這麼神奇，就是找不到bug。）
其實什麼延遲選擇、量子擦除實驗，也是一樣，傳遞的是相關性，需要兩邊的結果匯到一起才行。（單看一邊就是瞎的，得不出任何結論。）並沒有什麼未來影響現在的事兒。
補充說明
有的小夥伴問：如果甲探測A在12點方向探測為+，那麼乙探測B在3-4-5-6-7-8-9方向的探測結果為什麼不是等機率的？為什麼5-6-7點的機率大一些？
作為經典解釋，如果自旋方向在剛開始就是設定好的，那麼的確是等機率的。
但如果它是一個波函式，那麼除了要滿足薛定諤方程外，還需要滿足3個性質：
“單值、有限、連續。”
https：//
zhuanlan。zhihu。com/p/51
0231255
上面這個文章裡面講了一維勢阱的例子，是一個很好的類比。有基礎的同學可以稍微看下。
這裡我只講連續性。
因為探測器乙在9-10-11-12-1-2-3方向的機率均為0，由於連續性，所以在9點、3點附近的機率也接近0。
（由於機率總和必為1，）這使得在3-4、8-9方向的機率較小，而5-6-7方向的機率較大。
其實，這裡才是貝爾不等式最最關鍵的地方，它是貝爾不等式的本質。否則你只看貝爾不等式，你並不明白他為什麼這麼設計。我猜貝爾同學應該就是發現了這個經典與量子力學的不同之處，才進一步設計出貝爾不等式的。並使後人用於實驗驗證。
