1.4 練習：週期方波的頻譜
傅立葉級數的三角函式展開式和復指數展開式很重要，想掌握公式還是得練幾道題，本篇就拿週期
方波
來試試手，順便提一些“術語”。
※ 主要參考《機械工程測試技術》（孫紅春等主編） 機械工業出版社 ※
三角函式展開式
※ 傅立葉級數的三角函式展開式 ※
利用三角函式的一個公式：
![\[\begin{align} a\sin \theta + b\cos \theta =& {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {\frac{a}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\sin \theta + \frac{b}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\cos \theta } \right]\\ =& {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {\cos \varphi \sin \theta + \sin \varphi \cos \theta } \right]\\ =& A\sin (\theta + \varphi ) \end{align}\]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/cMQ9gcc7m2XedGyJZZhxZc=vNGV6adxUfxE9yCavzJsnevboElMpCD_DMRL2zAbndz-mvaMtcOhIJ_zqeeEpCDLgPwfxTsx=fLg5hbL872DGQP63dtVqXfVgRC=ctej7bkQNS0p86DmpJ__eeHU+j4=2uGDnzT_tGhz6R=jNal7nMT_kx3U+QMKDMRLGgAb7fF-AGtA2TDQnNL5oElN7YCN1QjF9-GT1Sz-LvfgzaOZnNLj2dtdrI=zNQjz9TsbA6QclR=OEddBYdD=HFLspCdjiRC=Gt2vg6QcvS0A2SJRUZm1cdtIJI=zFQjFqb2T1TF-msMA4TGDcQGLwW3spCDL1P9Fbyvup6QIlS0A2SIPGYUXoEcJ4I=zFQjz9TsbA6QclR=jN6DBob8FZYLU0NMKDMMj1-GTOSzsOR=jF72DcQGjwkehdI=_uQjzpTsxDGz-msMA4TGDeRD=dgeN6b0KDMRLbgZxGajv5md=86DBocrn-VbQpCD5DMRXnH=9p7N-BsMAzPu7nNL_oElN7YCN1Qj_f-GT1S9D6R=-N7IQnNL5kdtVqbanoPL5nb4wtPS-AR=jF6DBob8FZYLUej4KDMM_nH=Bid0L6R=OEfc8Gc81weHUej+LqyyKnH=BGcLk9Otp86DR9KB=dgfNxa4KDMRLdyB+-cLx6R=OEaIXHKB=dgfRwYNuiRC=e=9utPSCAyCjpfGDcRD=dgHUej0K8QjLpTsf07mD5mD0gcOIxJ__+dtVqcb1Dg9px-GTOSzv5mD03aPRla8EkdtIJJ0=2uGFIz9T1S9E2yCjv6DhpJ_FpdtVrP.jpeg)
其中，
用此公式，將求和符號中的同一頻率下的三角函式都轉變成
，傅立葉級數變成了：
其中，
，
，
的諧波（理解為正弦， sin）稱為基波；其他的諧波稱為
次諧波；
稱為
次諧波的
幅值
，
稱為
次諧波的
初相位
。
為了更直觀地表示一個訊號的頻率成分，均以圓頻率
為橫座標，以幅值An為縱座標作
幅值譜
，以初相位
為縱座標作
相位譜
；這兩個圖一起稱為
頻譜
。
都是整數，畫出來的頻譜是離散的，一根一根的線。
現在把方波帶入求解。
首先觀察函式：
① 方波的週期是
，所以
，
；
② 方波是奇函式。
在對稱積分割槽間下，奇函式的積分結果為0，偶函式的積分結果等於它在整個區間的一半上積分的2倍；
並且兩奇函式相乘為偶函式，奇函式和偶函式相乘為奇函式；
所以
和
的值都是0：
，
。
![\[\begin{align} {b_n} =& \frac{2}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x(t)\sin n{\omega _0}t{\rm{d}}t} \\ =& 2 \times \frac{1}{\pi }\int_0^\pi {\sin n{\omega _0}t{\rm{d}}t} \\ =& - \frac{2}{{\pi n{\omega _0}}}\cos n{\omega _0}t\left| \begin{array}{l} \pi \\ 0 \end{array} \right.\\ =& - \frac{2}{{\pi {\rm{n}}}}(\cos \pi n - 1)\\ =& \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{4}{{\pi n}}}&{n = 1,3,5, \ldots }\\ 0&{n = 2,4,6, \ldots } \end{array}} \right. \end{align}\]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/Obi8eHrnMHW1z2d7gpNVOHl0w3ZKVLkTzB=8cWpsyfvtgl1rL_prLUj5DwH1CTc6P3RMSm==bBg4jSe9QFjJ5mQZV_Fd5=vnjtFu6Td46HlH51a2CTprL0jAc-_o_hcEjtZ=6TZOWrV-jSe9jhX9jTgvc-NnNT4MBHRMSi4l6Hl15=SQX=jJuClAgQS798jvLlR4P0dEOcQTByBrL8zrXkNAc-_ojF-H5-O4GjP2Ktj3jSW8yL57Q2+5D1S79_C3PBUfaS5ImLl1uGRrL8brLUMAVTFd4pjvLch4P0i2KtglQPtrL_prLUY6c-Ho_h+GQ0dK6TUFeaovNWmXjhT8NnQNwzFd4PDvLch4P0dEOlM-ORtrL8zrLUMJVo=gW=-musR9S3Dr6H6tLHJrL_D3OW+6V_Fd4N-m5ep2bWZ_6dV-jSe9z=jJ5ilLz4TK_hcENLRMTCR5SbutLHRXjhT8jTAudzo7W8jvX5kK7yM9KtA=N7K5CFjJ5jj5D1t798+vLcd4PUFkbs74jSeGjhT8P2d5x39wAAFvLch4P0hEOcutL-OsPMpXPilmz_Fb4L85NBZC71okKtglzBw+5LRrNnu5D1bw_hksCZUfcW0EOcQzy7K5ggjJuClmzGA798jnjtU5eG-9KtA=jSW8QAtXjTAuxX6D_hcECCeFaX-EOcupjSW8yp5xOHu0c-Nn_hksQH44G0hEm5NpQP1XjhT8NnQNwzFd4P+vLch4P0dEOcjtL-OAOg2rL0j5DwHmOg-H5Z04P0hEOcutLHRrL8zrXj15DwH3OMLnjtU5eG-9c36vQyFrXPSrLUY5DwbwjF-NuLRFPi4EOlMuNVafjhT8jTgldzFd4N-m5ee4b2vsKtgACWK2C-SrL0u5D1S7WRDvLcdFGCR5SLl15MmrL8zrL0u6c-_8_hksN-eCayR5R5utLHRrL8brL0j5DwH=Ngs2jtZu6TZAKtgljSJIjhXGPi65p1twWg-C50r4Gkr3KtQ=QPw+5LRCP3vBdzFd5=-m5HR9Sy4kKtj0jSeGPN2rX0u6p_Fm4AjvXFrL6TeF6HlH51kCPMg3QylmgNo79_CvPZh4P0e_d-QzgRwJu=jJuC65DwHmNTcKzL0K6TUFaBIwjSeGCTRVN2+5D1t79_LvLlh3O.jpeg)
帶入公式求幅值和初相位：
※ 頻譜圖 ※
非常清晰地看出不同諧波成分的幅值和初相位。
隨著頻率增加，幅值下降；可以看出，高次諧波的幅值幾乎為0了，所以在精度範圍內，可以適當捨去高次諧波。
這裡就畫出前20次諧波。
在網上找到一張很有意思的圖，書本上有類似的圖，我當時的感測器技術老師也拿類似的圖當群頭像。
如有來源，請聯絡指明
這張圖上的數值不是很準，時域影象的縱座標數值應該寫錯了。因為相位譜都是0，所以頻譜就只畫出了幅值譜。
時域影象不是完全的週期方波，畢竟這只是前20項的疊加結果，無窮項能完全逼近週期方波。
你注意到了嗎？頻譜就是函式的
頻域
描述，在此之前，我們一直都只是在
時域
內研究函式。
恭喜你！ψ（｀∇´）ψ多了一個看待函式的角度。
但是你現在還只能得到週期函式的頻域，因為傅立葉級數分析的就是滿足狄利克雷條件的週期函式。至於非週期函式，交給以後的
傅立葉變換
吧。
下面回到主題，接著整復指數展開式。
復指數展開式
※ 傅立葉級數的復指數展開式 ※
是複變函式，可以由尤拉公式轉變為復指數形式：
![\[\begin{align} {c_n} =& {\mathop{\rm Re}\nolimits} {c_n} + j{\mathop{\rm Im}\nolimits} {c_n}\\ =& \sqrt {{{({\mathop{\rm Re}\nolimits} {c_n})}^2} + {{({\mathop{\rm Im}\nolimits} {c_n})}^2}} \left[ {\frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} {c_n}}}{{\sqrt {{{({\mathop{\rm Re}\nolimits} {c_n})}^2} + {{({\mathop{\rm Im}\nolimits} {c_n})}^2}} }} + j\frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} {c_n}}}{{\sqrt {{{({\mathop{\rm Re}\nolimits} {c_n})}^2} + {{({\mathop{\rm Im}\nolimits} {c_n})}^2}} }}} \right]\\ =& \left| {{{\rm{c}}_n}} \right|\left[ {\cos {\varphi _n} + j\sin {\varphi _n}} \right]\\ =& \left| {{{\rm{c}}_n}} \right|{{\rm{e}}^{j{\varphi _n}}} \end{align}\]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/NW2WGgB5NG-YhdmaBULQmznRFzXTCcFnyl7WMMFibe1+inOfn3UIXp4wr7mfmFztOGuZ+ywjHACbRvGIyq4ZIPX4CdDiK8KSWX1IBK9lvsCnRvp+EsKWmyAqhKhXuvFTPkXS7y7SZb0+mtVaEWuQGL-gNZDiK8KS9XgH8_hSZb0RRv37yW_IXg4wr7mTMAusOanIWh3SZ=przuQPE04ZJYnh2zJRHYnQND294oH-sG5YvXVCEL4ZJYnh2ZDgJmKl_4qK4o3ysG5WvdV5FhHS5n0YhKhXuvzk_4za4oHkvstIzFUkDwTu5n0YhKBw0XbltkuIWh+SZ=pbzcn_Es+WHcn_3V7UYajeAZbIWh+SO4s+maffn3485n0kiZDbJ1KS9XzIWh3SO4L+ma2fn3ofLMJDCg9UYa_S9uq8mnR30v5Ys86VGWadGy--B8scuvz-j9uZ+yW0025Ys86qo04ZJYnh3KQUYa5S9X1S4oqT0Ztwh86VGLdIXg4wr7mO0Xqe_4No4oHkvsCnRvp+EsKWmyAqhKhXuvFTPkXS7y7SZb0+mtVaEWuQGL-gNZDiK8KS9XgH8_hSZb0+maffnkHIXg4wrPQUYtLZPDgW5d7zK25Yv16XGL48YYn_2dDgJccbyVmdGZ7zK25Wvd3dyVyI5n0khKBwHXVjNlYQHgBSZb0RRvG7=VTc5n0khKQjuvz-_4=6BI7z69e+ZD2QP1Bo5n0YhKQ_uvzk_4=JmMwOHZ-5RvG7P1sJHPyA4rdUYa5S9uqcm_ot0AIVgm6XH7dIXg5JEzIUYa5SW0tIWh+SZ=5rRvGIP1BKucn_3VDiK8KSWtzSMI7PKdErOFAfnkPIXg4wrPQUYtLQBD2jmjxSZby+mtVqE0ezG7n_3VDgJc+_OVJfMmIZvsCJSm6XGUoOG+n_3VDiK8=z5puZ+I7zK25WvdV5FhHS5n0YhKhXuvzk_4za4oHkvstIzFUkDwTu5n0YhKBw0XbltkuIWh+SZ=pbzcn_Es+WHcn_3V7UYajeAZbIWh+SO4s+maffn3485n0kiZDbJ1KS9XzIWh3SO4L+ma2fn3ofLMJDCg9UYa_S9uq8mnR30v5Ys86VGWadGy--B8scuvz-j9uZ+yW0025Ys86qo04ZJYnh3KQUYa5S9X1S4oH-vsCJRvGIyq4XI_5EAz3zuvF-_4=J4oqTsGe+Zaff-mlS5nrxCNBO18=z49fIWh3SZby+ma2fn3o8G7n_2CZUYa5S9X2OmI7z695Ys8jfn3o8mL0DOVDiJm=P4ZsILD+SZ=yRRvG7P1sJLiAdiZDiJ1=P4aFMGDksHvfNz16XH7dIC84ABdDgJdLtOGfIWh3SZ=pXOA34DwvS9iiwrPvUYa5l_4=JGyTvHa0+mtffn3UIXpCAiZDcK8=Y9GfIWqWjGAEVRvG+yq4ZI+n_2dDiJ1=P4agf4oHkmG5Ys86XHJTc5n0khKhxvm=P4agQL_cOvsCIRvG7P1Bo5nrxNCdUYajS_4NK4oH-vstKRvG7DL4ZI+nh2gPe0S8sN3+OmI7z695Ys86XH7dIXpXwCCvUYajbOVJ_mI7z695Wvm6VHKf+M.jpeg)
其中，
幅值
和
相位
為：
，
需要注意的是，這裡的相位和上一節三角函式展開式的初相位是不一樣的！雖然這裡符號一樣，但是值是不一樣的。（有些書上為了區分兩者，符號不一樣）
之前由
三角函式展開式
推導
復指數展開式
的過程中，兩者有這樣一個聯絡：
所以，復指數展開式中的相位為：
現在帶入週期方波求解。
首先觀察函式
：
① 方波的週期是
，所以
，
；
② 方波是奇函式。
由於是奇函式，對稱區間上積分後
等於0：
。
![\[\begin{align} {c_n} =& \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x(t){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}n{\omega _0}t}}} \\ =& \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x(t)(\cos n{\omega _0}t - {\rm{j}}\sin n{\omega _0}t){\rm{d}}t} \\ =& - {\rm{j}}\frac{2}{{{T_0}}}\int_0^{{T_0}/2} {\sin n{\omega _0}t{\rm{d}}t} \\ =& - {\rm{j}}\frac{1}{\pi }\int_0^\pi {\sin n{\omega _0}t{\rm{d}}t} \\ =& \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\rm{j}}\frac{2}{{\pi n}}}&{n = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \ldots }\\ 0&{n = \pm 2, \pm 4, \pm 6, \ldots } \end{array}} \right. \end{align}\]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/Obi8eHrnMHW1z2d7gpNVOHl0w3ZKVLkTzB=8cWpsyfvtgl1rL_prLUj5DwH1CTc6P3RMSm==bBg4jSe9QFjJ5mMZV_Fd5=vvXch4Gjk9KtA=N7K5CFjJ5jq5D1t798+vLcd4P0exY08tLHRrL8zrL0u5DwH-OfQbjtZ=7yM9KtgAFE9AjhX9jTQrp_Fd5=-musRMSiR5RovdXBwJu=j2ujj5D1tw_hcEgLRFyHhEm5FtLHJrL8brLUMAVTFd4p-vLch4P0hEOlltLHJXWg2rL0j5DwHmOg-H5ZK4P0hEOcv4jSeGjhT8P2d5x39wAAFvLci86TZAKtgljSe9QFj+5ylLzzow_hCtjtdL7yR3ReOOCVmrL8bBjTgvc-_8_hcEjtZ=XFokKtgljSe9jhX9jTAukX6aAF-H53427yR5RovdXBwJu=j2ujj5D1t79_-vLcd4P0exY08tLHRrXRw2jTgvdzFd4fzvX5P86TdvKtj2jSW8CLn3Q2+5D1S79_C3PBUfaS5ImLl1uGRXWg2rL0j5DwHmOg-H5ZK4P0hEOcutL-O3OTGXPilmz_Fb4L85NBZC71okKtglzBw2MgjJ5ilLz4TK_hcENLRMTCR5SbutLHRXjhT8jTAudzo7W8jvX5kK7yM9KtgAjSW8yp9rL0QKc-_o_hctjtU5bne_ZHl15_JrL8zrL0j5D1S798IRB0l4P0hEOcutLHRrL_DVPnvZpNFb5g-H53RMSliImLl1uBw2uPbrL0u6c-_8_hksyevH720EOcjtL-OnPTTxCS7ZpNFd5rjvLcd4PUFgcsl15MRrL8zrL0v9c-_ojF-m5HR9Sy49KtMljSJIQF2pQylmz_Fb4MI5jtZ=ciR5SLl1uBw+5Lx2CWY5D1Sl_hctjtZ=6TUFdaFpjSe9jhT8OWI9UgM79_-vLlFjcS49KtgAjSW8yL57Q2+5D1S79_C3PBUfaS5ImLl1uGRrL8brLUMAVTFd4pjvLch4P0i2KtglQPw+5Fj+5y66c-Ho_h+GQHR9S2TEa-utL-mrL8bXjTglc-NnBpkJOB04P0e_d-QzgRwJu=jJ5ilAzTFd4P+SjtZu6TZOZHl1uBwJu=2rL0j6oTo798+vLlFFdSR5RZUtLHRrL8zrLUMqWGL3_hcEX3RMTCR5R3l15hw+5M=VQ2+5D1t798jvLch4GjkEOcQ4QPw3u=2XjTAuWHfwWg-C5H44PUFkcs6PjSK8QFj+5393dgF7WRLnjtU5dGitebYpjSe9jhT8jTAudgM7WPXvLceH7yRhSL6pjSW8yq9XXilAzzo79_CSPs486TeF6HlH52CpQAwrXkY6c-NnOqQ3zbrK6TZA6HlH51W7N=jJ5mrAWGLf_hctjtZu7yR3RfQnN1ifWN2rLUM5VGt798IPPavfdiR5SLlH5Pw+us4qO.jpeg)
算出幅值和相位，畫出頻譜圖：
※ 頻譜圖 ※
三角展開式的頻譜叫“單邊譜”。
復指數展開式的頻譜叫“雙邊譜”。
兩者沒有好壞之分，並且幅值單邊譜和幅值雙邊譜還有聯絡：
如果只取幅值雙邊譜右半部分，再取絕對值，乘2倍，就是幅值單邊譜。
（
處有
）
肯定有人和我當初一樣有個疑惑：頻率
能為
負數
嗎？？
如果只是以實數的角度來說，確實很難理解，頻率不可能為負數。我認為，這裡應該把正負理解為“方向”，復指數的方向，可以想想之前把復指數視覺化的文章。
而真正的頻率是正負號後面的數字，即其絕對值。
其實他沒有什麼實際意義，理解為“方向”也只是我自己這麼想。
總結
頻譜圖能非常直觀地呈現各個諧波成分的幅值和相位。
利用傅立葉級數，我們可以得到一般週期函式（滿足狄利克雷條件）的頻譜。
至於非週期函式的頻譜（傅立葉變換），且聽下回分解。
程式碼（Matlab）
% 第一個圖
clear
clc
T1
=
1
；
T2
=
2
；
T3
=
4
/
5
；
T4
=
4
/
7
；
T0
=
2
*
pi
；
% 週期 如果是相加項 取所有周期分子的公約數 再乘pi
omiga
=
2
*
pi
/
T0
；
fsin
=@（
n
，
t
）
sin
（
n
*
omiga
*
t
）
。*
square
（
t
）；
fcos
=@（
n
，
t
）
cos
（
n
*
omiga
*
t
）
。*
square
（
t
）；
N
=
20
；
Fsin
=
zeros
（
1
，
N
+
1
）；
Fcos
=
zeros
（
1
，
N
+
1
）；
for
n
=
1
：
N
Fsin
（
n
）=
quad
（@（
t
）
fsin
（
n
，
t
），
-
T0
/
2
，
T0
/
2
，
1e-9
）
/
T0
*
2
；
Fcos
（
n
）=
quad
（@（
t
）
fcos
（
n
，
t
），
-
T0
/
2
，
T0
/
2
，
1e-9
）
/
T0
*
2
；
end
n
=
0
；
a0
=
quad
（@（
t
）
fcos
（
n
，
t
），
-
T0
/
2
，
T0
/
2
，
1e-9
）
/
T0
；
% 把極小值弄為0
Fcos
（
Fcos
<
0。01
）=
0
；
Fsin
（
Fsin
<
0。01
）=
0
；
subplot
（
211
），
stem
（（
1
：
N
+
1
）
。*
omiga
，
Fcos
）；
title
（
‘an’
）；
grid
on
ylim
（［
-
1
，
1
］）
% 設定幅值顯示範圍
xlabel
（
‘n’
）
ylabel
（
‘幅值’
）
subplot
（
212
），
stem
（（
1
：
N
+
1
）
。*
omiga
，
Fsin
）；
title
（
‘bn’
）；
grid
on
ylim
（［
-
1
，
1
］）
% 設定幅值顯示範圍
xlabel
（
‘n’
）
ylabel
（
‘幅值’
）
figure
subplot
（
211
）；
stem
（（
1
：
N
+
1
）
。*
omiga
，
sqrt
（
Fcos
。^
2
+
Fsin
。^
2
））；
grid
on
title
（
‘幅值譜’
，
‘fontsize’
，
13
）；
xlabel
（
‘\omega’
，
‘fontsize’
，
12
）；
ylabel
（
‘A_n’
，
‘fontsize’
，
12
）
subplot
（
212
）；
phi
=
atan
（
Fcos
。/
Fsin
）；
phi
（
isnan
（
phi
））=
0
；
% bn為0時 算出來NaN無效值 這一步去除無效值
stem
（（
1
：
N
+
1
）
。*
omiga
，
phi
）；
grid
on
ylim
（［
-
pi
pi
］）
xlim
（［
0
25
］）
title
（
‘相位譜’
，
‘fontsize’
，
13
）
xlabel
（
‘\omega’
，
‘fontsize’
，
12
）；
ylabel
（
‘\phi_n’
，
‘fontsize’
，
12
）
% 第二個圖
clear
clc
T1
=
1
；
T2
=
2
；
T3
=
4
/
5
；
T4
=
4
/
7
；
T0
=
2
*
pi
；
% 週期 如果是相加項 取所有周期分子的公約數 再乘pi
omiga
=
2
*
pi
/
T0
；
cn
=
@（
n
，
t
）
exp
（
-
1
i
*
n
*
omiga
*
t
）
。*
square
（
t
）；
N
=
20
；
Cn
=
zeros
（
1
，
2
*
N
+
1
）；
for
n
=
-
N
：
N
Cn
（
n
+
N
+
1
）
=
quad
（@（
t
）
cn
（
n
，
t
），
-
T0
/
2
，
T0
/
2
，
1e-9
）
/
T0
；
end
n
=
0
；
c0
=
quad
（@（
t
）
cn
（
n
，
t
），
-
T0
/
2
，
T0
/
2
，
1e-9
）
/
T0
；
% % 把極小值弄為0
% Fcos（Fcos<0。01）=0；
% Fsin（Fsin<0。01）=0；
figure
subplot
（
211
）；
stem
（（
-
N
：
N
）
。*
omiga
，
abs
（
Cn
））；
grid
on
title
（
‘幅值譜’
，
‘fontsize’
，
13
）；
xlabel
（
‘\omega’
，
‘fontsize’
，
12
）；
ylabel
（
‘|c_n|’
，
‘fontsize’
，
12
）；
ylim
（［
0
，
0。67
］）
subplot
（
212
）；
stem
（（
-
N
：
N
）
。*
omiga
，
angle
（
Cn
））；
grid
on
ylim
（［
-
pi
pi
］）
title
（
‘相位譜’
，
‘fontsize’
，
13
）
xlabel
（
‘\omega’
，
‘fontsize’
，
12
）；
ylabel
（
‘\phi_n’
，
‘fontsize’
，
12
）
