一、向量代數和空間解析幾何

作者：由宋哈哈發表于舞蹈時間：2021-07-05

線性代數與空間解析幾何第二版答案

向量代數

向量的相加：交換律和結合律、三角不等式

$|a+b|\leq |a|+|b|$

向量的數乘：兩個向量可以互由數乘得到，則兩向量共線

向量的減法：與反向量相加

向量的內積：

$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

，交換律、分配律、數乘結合律。垂直等價於內積為0。

向量的叉乘：

$|a\times b|=|a||b|sin\theta$

，反交換律、分配律、數乘結合律。共線等價於叉乘為零向量。叉乘向量垂直於

和

，右手四指從

握向

。

叉乘：（

$\pmb{a}_1\times \pmb{a}_2=\left|\begin{array}{cccc} \pmb{i} & \pmb{j} & \pmb{k} \\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{array}\right|$

）

向量的混合積：

$a \cdot (b\times c)=b\cdot(c \times a)$

絕對值都代表平行六面體體積。

夾角：（

$cos\theta=\frac{a\cdot b }{|a||b|}$

）

投影：在誰上的投影就除誰，

例如：求

在

上的投影

$\frac{a \cdot b}{\left| b \right|}$

用處：

判斷兩向量是否共線（叉乘是否為零向量）

判斷三向量是否共面（混合積是否為零向量）

空間平面方程

1。點法式方程：

$\overrightarrow{P_0P}\cdot\overrightarrow{n}=0$

，所以如果

，

$\vec{n}=(A,B,C)$

，那麼一般表示式為：

2。一般式方程：

到該平面的距離為

$\frac{\overrightarrow{P_0P_1}\cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}= \frac{Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

鳩摩羅青木：向量法求點到平面的距離

兩平行平面之間的距離為：

$\frac{{|D_1-D_2}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

3。另外還有三點式方程（由混合積得出，可以用一般式方程待定係數法解決）：

$\overrightarrow{P_1P}\cdot(\overrightarrow{P_1P_2}\times \overrightarrow{P_2P_3})=0$

這可以寫作：

$\left|\begin{array}{cccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| =0$

4。截距式：

$\frac{x}{-\frac{D}{A}}+\frac{y}{-\frac{D}{B}}+\frac{z}{-\frac{D}{C}}=1$

5。兩平面平行——係數成比例

兩平面之間的夾角就是它們法向量的夾角，

$cos\theta=\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1||n_2|}=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A^2_1+B^2_1+C^2_1}\sqrt{A^2_2+B^2_2+C^2_2}}$

兩平面垂直：

，也就是法向量內積為0。

空間的直線方程

1。兩個非平行平面的式子聯立可以得到直線的方程。這樣的用聯立方程組給出的直線方程叫作直線的兩面式方程，或一般方程。

2。直線的引數方程：

$x-x_0=ta \ \ \ y-y_0=tb \ \ \ z-z_0=tc$

3。直線的標準方程：

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

二次曲面

參考大神：

楊家俊：線性代數總結第六章第二部分曲面和二次曲面（附圖）

張敬信：【高等數學】九種標準二次曲面

一個三元一次方程代表一個平面，一個三元二次方程代表一個二次曲面。

1。橢圓錐面：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

它與

相截得到一個橢圓周。

用平行於其它兩個座標平面的平面去截，可以得到雙曲線或者直線。

它被稱為錐面，是因為這個曲面是由一系列過原點的直線組成。其充要條件是，如果某點在曲面上，那麼其與原點連線上的所有點都在曲面上。後者是可以證明的。

2。橢球面：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$

（方程左面二次型正慣性系數為3）

其可以裝在一個立方體內。

它與

相截得到一個橢圓周，換成其它平行於座標平面的平面，也一樣。

引數方程：

$x=asin\varphi cos\theta\ \ \ y=bsin\varphi sin\theta\ \ \ z=ccos\varphi$

3。單葉雙曲面：（方程左面二次型正慣性系數為2）

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

它與

相截得到一個橢圓周。

用平行於其它兩個座標平面的平面去截，可以得到雙曲線或者直線。

4。雙葉雙曲面：（方程左面二次型正慣性系數為1）

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

這是不連通的兩張曲面。

它與

相截得到一個橢圓周。

用平行於其它兩個座標平面的平面去截，可以得到雙曲線。

5。橢圓柱面：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

準線為橢圓周，母線平行於z軸（這裡的準線並非橢圓裡的準線定義）

6。雙曲柱面：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

7。拋物柱面：

$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=0$

8。橢圓拋物面：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z=0$

曲面只在

$z\geq0$

存在，同時，與

所截為一橢圓周。

與

或

相截，為一拋物線。

9。雙曲拋物面（馬鞍面）：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-z=0$

與

所截為雙曲線或直線。

與

或

相截，為一拋物線，不過開口並不全同。

空間曲線

（1）。空間曲線可以視為兩曲面的交線。一般方程：

$\Gamma:\left\{\begin{aligned}&F(x,y,z)=0\\&G(x,y,z)=0\end{aligned}\right.$

（2）。空間曲線的引數方程：

$\left\{\begin{aligned}&x=x(t)\\&y=y(t),a\leq t\leq b\\&z=z(t)\end{aligned}\right.$

（3）。空間曲面在座標面上的投影：以曲線

$\Gamma$

在

平面的投影為例，將

$\Gamma:\left\{\begin{aligned}&F(x,y,z)=0\\&G(x,y,z)=0\end{aligned}\right.$

中的

消去，得到

$\varphi(x,y)=0$

，那麼曲線

$\Gamma$

在

平面的投影即為曲線

$\left\{\begin{aligned}&\varphi(x,y)=0\\&z=0\end{aligned}\right.$

求曲線

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在點(1,-2,1)處的切線及法平面方程

解：依題意可得：

$\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-x \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-1 \end{array}\right.\right.$

（有啥遮啥，遮左側時第一行左右互換）

由此得

$\frac{d y}{d x}=\frac{\left|\begin{array}{l} -x z \\ -11 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{l} y z \\ 11 \end{array}\right|}=\frac{z-x}{y-z}, \frac{d z}{d x}=\frac{\left|\begin{array}{l} y-x \\ 1-1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{l} y z \\ 11 \end{array}\right|}=\frac{x-y}{y-z}$