座標變換原理

座標變換是指採用一定的數學方法將一種座標系的座標變換為另一種座標系的座標的過程 「

座標變換_百度百科

」。對於很多電氣領域的朋友來說，這是一個比較簡單的問題， 且Simulink/SimPowerSystem 裡有現成的座標變換模組，此處贅述，只是給出自己當時學習 「座標變換」時的一點心得。

1.座標變換的性質及約束條件

座標變換是一種線性變換，如無約束，變換就不是唯一的。在電機的系統分析中，所應用的座標變換可有兩種約束：（1）功率不變約束，即變換前後功率保持不變；（2）合成磁動勢不變約束，即變換前後合成磁動勢保持不變。

1.1功率不變約束

設在某座標系統中各繞組的電壓和電流向量分別為

在新的座標系統中電壓和電流向量變為

新向量與原向量的座標變換關係為：

由於變換前後功率不變，則

從而

其中E 為單位矩陣。上式就是功率不變約束下座標變換陣需要滿足的關係式。在一般情況下，電壓變換陣與電流變換陣可以取為同一矩陣，即令

則有

由此可知，在功率不變約束下，當電壓向量和電流向量選取相同的變換陣時， 變換陣的轉置與其逆矩陣相等，這樣的座標變換屬於正交變換。

1.2合成磁動勢不變約束

至於合成磁動勢不變約束，因為繞組電流與磁動勢成正比，只要把電流的合成向量分別在新座標系和原座標系進行投影，就可以確定新向量與原向量之間的座標變換關係。

2.三相-兩相變換(3/2變換)

三相-兩相變換即指在三相靜止座標系A-B-C和兩相靜止座標系alpha-beta之間的變換，簡稱 3/2 變換或Clarke變換。

2.1 Clarke變換矩陣

圖1給出了A-B-C座標系和

alpha-beta 座標系，為方便起見，取 A 軸和

alpha 軸重合。設三相繞組每相有效匝數為N3，

兩相繞組每相有效匝數為N2

，各相磁動勢為有效匝數與電流的乘積，其空間向量均位於有關相的座標軸上。由於交流磁動勢的大小隨時間在變化著，圖中磁動勢向量的長度是隨意的。

圖1 三相和兩相座標系與繞組磁動勢的空間向量

設磁動勢波形是正弦分佈的，當三相總磁動勢與二相總磁動勢相等時，兩套繞組瞬時磁動勢在

alpha、beta 軸上的投影都應相等，即

寫成矩陣形式，得

考慮變換前後總功率不變，在此前提下，匝數比應為

從而，

令C3/2 表示從三相靜止座標系A-B-C到兩相靜止座標系 alpha-beta 的變換矩陣，則

令C2/3 表示從兩相靜止座標系 alpha-beta到

三相靜止座標系A-B-C 的變換矩陣，則

按照所採用的條件，電流變換陣也就是電壓變換陣，同時還可證明，它們也是磁鏈的變換陣。

2.2 Clarke變換的MATLAB實現

在MATLAB/SIMULINK環境下，建立Clarke變換模組，並封裝為一個子系統，如圖（2）所示。

圖2 Clarke變換模組 （a）封裝示意圖；（b）內部示意圖

圖（2）中的“alphaFun”和“BetaFun”均為SIMULINK/USER-DEFINED FUNCTIONS中的Fcn模組，可設定較為複雜的函式表示式。兩個函式的設定如圖（3）所示，可實現C3/2所描述的Clarke變換。

圖3 函式設定示意圖 （a）alphaFun模組設定；（b）BetaFun模組設定

而C2/3表示的逆變換可按照類似的過程生成。利用這兩個模組建立如圖（4）所示的模擬模型，進行Clarke變換的驗證。

圖4 Clarke變換模擬模型

其中的三個正弦訊號分別為

表示A-B-C座標系下的分量，頻率為50Hz。經Clarke變換後所得變數，再經逆變換後又可得到原來的三相正弦訊號，圖（5）為模擬結果。

圖5 Clarke變換模擬圖（a）原訊號；（b）Clarke變換後訊號；（c）Clarke逆變換後訊號；（d）誤差訊號

3.兩相-兩相變換(2s/2r變換)

兩相-兩相變換即指在兩相靜止座標系 alpha-beta 和兩相旋轉座標系d-q 之間的變換，簡稱 2s/2r 變換或Park變換。

3.1 Park變換矩陣

圖（6）給出了兩相靜止座標系

alpha-beta 和兩相旋轉座標系

d-q 。

圖中，兩相交流電流i_alpha、i_beta

和兩相直流電流i_d、i_q

產生同樣的以同步轉速W1

旋轉的合成磁動勢Fs。

由於各繞組匝數都相等，可以消去磁動勢中的匝數，直接用電流表示。但必須注意，這裡的電流都是空間向量，而不是時間相量。

圖6 兩相和兩相座標系與繞組磁動勢的空間向量

d，q軸和向量Fs都以轉速

W1 旋轉，分量

i_d、i_q 的長短不變，相當於d-q繞組的直流磁動勢。但

alpha，beta軸是靜止的，

alpha 軸與d軸的夾角隨時間變化，因此i_s在

alpha，beta軸 上分量也是

隨時間變化的，相當於繞組交流磁動勢的瞬時值。由此可知，

則兩相靜止座標系變換到兩相旋轉座標系的變換陣是：

兩相旋轉座標系變換到兩相靜止座標系的變換陣是：

電壓和磁鏈的旋轉變換陣也與電流（磁動勢）旋轉變換陣相同。

3.2 Park變換的MATLAB實現

在MATLAB/SIMULINK環境下，建立Park變換模組，並封裝為一個子系統，如圖（7）所示。

圖7 Park變換模組 （a）封裝示意圖；（b）內部示意圖

圖8 函式設定示意圖 （a）dFun模組設定；（b）qFun模組設定

而式C2r/2s表示的逆變換可按照類似的過程生成。利用這兩個模組建立如圖（9）所示的

模擬模型，進行Park變換的驗證。

圖9 Park變換模擬模型

把圖（9）中經Clarke變換後得到的兩相靜止座標系下的分量輸入到Park變換模組，並令d軸與A、B、C三相分量合成的空間向量重合，即Park變換模組輸入的角度為wt，

則可得Pake變換後的分量，再經Park逆變換又可得到原來經Clarke變換後得到的分量。圖（10）為模擬結果。

圖10 Park變換模擬圖

（a）原訊號；（b）Clarke變換後訊號；（c）Park變換後訊號；（d）Park逆變換後訊號

4.三相-兩相變換(3s/2r變換)

三相-兩相變換即指在三相靜止座標系A-B-C和兩相旋轉座標系d-q

之間的變換，簡稱 3s/2r變換。

4.1 3s/2r變換矩陣

圖（11）給出了三相靜止座標系A-B-C和兩相旋轉座標系d-q 座標系。

圖11 三相靜止座標系A-B-C和兩相旋轉座標系d-q

從三相靜止座標系A-B-C到兩相旋轉座標系d-q 的變換式為：

其反變換式為：

4.2 3s/2r變換的MATLAB實現

在MATLAB/SIMULINK環境下，建立3s/2r變換模組，並封裝為一個子系統，如圖（12）所示。

圖11 3s/2r變換模組 （a）封裝示意圖；（b）內部示意圖

圖12 函式設定示意圖 （a）dFun模組設定；（b）qFun模組設定

而式C2r/3s表示的逆變換可按照類似的過程生成。利用這兩個模組建立如圖（13）所示的模擬模型，進行3s/2r變換的驗證。

圖（13） 3s/2r變換模擬模型

模擬結果如圖（14）所示。

圖（14）3s/2r變換模擬圖

原訊號；（b）3s/2r變換後訊號；（c）3s/2r逆變換後訊號；（d）誤差訊號

參考文獻：

［1］謝衛。 電力電子與交流傳動系統模擬［M］。 機械工業出版社， 2009

［2］陳伯時。電力拖動自動控制系統 運動控制系統［M］。 機械工業出版社， 2003

知乎問題：

「

請問誰有非同步電機abc_to_dq0座標轉換模組？

」

「

為什麼空間向量功率與三相瞬時功率相等？

」

注：由於知乎專欄編輯器尚未提供公式功能，故公式均為圖片格式。

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