三類基本方程的比較

一、疊加原理

對於線性微分方程，如果定解條件滿足可加性條件，則方程的解滿足疊加原理。在實際應用中不僅可以用有限個特解的疊加作為問題的解，也可以用收斂的級數或者積分表示無限個特解來疊加。

二、解得性質的比較

經典意義下，作為一個二階偏微分方程的解，要求有方程中出現的那些二階偏導數，並要求它們連續。但對於不同型別的方程，解的光滑程度不同。

1、解的光滑性（正則性）

Laplace 方程的連續解u在給定區域內是無限次可微的，即解析的。（由於該方程表示一個平衡與穩定的狀態所以光滑性好），滿足Liouville定理，即

中無非平凡有界的調和函式，若u是

中有界的調和函式，則u是常數。

熱傳導方程在初始條件有界，解在t>0時是無窮次可微的（由於熱傳導現象具有能迅速趨於平衡的特點）

波動方程的解的光滑性取決於方程的兩個初始條件的光滑程度（由於波的傳播中可以將一定的若間斷性儲存下來）

但在方程中有非齊次項和變係數時，解的光滑性質還受到係數與非齊次項的光滑性的影響。

2、解得極值性質

熱傳導方程和調和方程都存在極值原理，但形式不同。熱傳導方程，由於熱量傳播的速度很快，所以初始時如果內部有極值，那麼在t>0時內部極值很快消失，因而區域內部的最大值不能超過區域初始時刻以及側面邊界上的最大值。調和方程的解反應的是已處於穩定狀態的物理量，當解不是常數的時候在內部不能取得極值，因而可能在邊界上任一處達到。波動方程通常不具有這樣的性質，因為波的傳播可以互相疊加，擾動增大的現象往往會在疊加時出現（共振）。

（題外話：Laplace方程每個點的函式值等於它周圍點的平均值（平均值定理），Laplace運算元越大，迴歸均衡的速度越快）

3、影響區域與依賴區域

波動方程一點的影響區域是以這一點為頂點向上做出的特徵錐內部（傾斜度為波的傳播速度a）；一點的依賴區域是以該點向下做出的特徵錐與t=0時所交的區域，於是

擾動具有有限的傳播速度a(波動方程的基本特徵)

。對熱傳導方程而言，一點的影響區域就是該點以上的整個上半平面，因為只要經過一瞬間，在極遠處就會收到該點的影響，

擾動傳播的速度是無限的(熱傳導方程的基本特徵)

，依賴區域是整個直線t=0（近似為無限的傳播速度，影響區域是無限的）。調和方程是定常狀態，沒有時間因素，從而不產生影響傳播速度的問題。

4、時間的反演（用-t代替t）

熱傳導方程的物理狀態變換是不可逆的，通常是由高到低，由濃到稀的單向變化。

波動方程的物理狀態是可逆的。

調和方程不存在時間反演問題。

5、解得漸進性態（t趨於無窮時）

波動方程描寫的是一個能量守恆的保守系統，當t趨於無窮時，對於再有界區間上具有其次第一類或者第二類邊界條件的波動方程的

初邊值問題

，其能量是守恆的（解表示式含有三角函式），因此並不衰減。但是對於

初值問題

而言，n維空間變數時，當初值是緊支集時，解及其偏導數以

的衰減率趨近於

零

。

熱傳導方程描寫的是一個熱量的傳導或者物質的擴散的耗散過程，其衰減率在初值問題和初邊值問題之間的差距也很明顯。

初值問題

，以

的衰減率趨近於

零

。對於具有第一類和第二類邊界條件的

初邊值問題

，解以指數衰減率趨近於他的

平衡態。

三、定解問題的提法

elliptic equation

橢圓型方程（調和方程）通常反應穩定、平衡態的物理量的分佈情況，因此在定解問題中只有邊界條件而沒有初始條件，故一般不提柯西問題和初邊值問題。

hyperbolic equation

雙曲型方程（弦振動方程）一般給出兩個初始條件（位置和速度）。一般不提弦振動方程的狄利克雷問題（因為解可能不存在）

parabolic equation

拋物型方程（熱傳導方程）一般只有一個初始條件。在矩形中熱傳導方程的狄利克雷問題一般是沒有解的。

注：非齊次問題的求解

將時段［0，t］分為若干小時段，利用齊次化原理求解每個小時段的解，再利用疊加原理。