實數上的向量空間的內積定義和複數上的向量空間的內積定義哪個更自然？或說哪個更貼近實質？

作者：由某叄發表于舞蹈時間：2022-05-17

228862022-05-18 10:52:01

原因是

蹲一個更本質的解答。

知乎使用者2022-05-21 04:04:50

取共軛是因為我們需要用內積來誘匯出範數，它等於向量與自身內積的平方根，

$\|\boldsymbol x\|:=\sqrt{\boldsymbol x \cdot \boldsymbol x}$

，which must be 非負實數

這樣復內積就不可能像實內積那樣定義為雙線性形式，否則任取複數

就得到

$z\boldsymbol x\cdot z\boldsymbol x = z^2 \boldsymbol x \cdot \boldsymbol x$

，而

並不是非負實數，範數

$\| z\boldsymbol x \|$

就寄了。。。

解決之道很簡單，就是把

替換成

$|z|^2=z\bar z$

，讓

$z\boldsymbol x\cdot z\boldsymbol x = z\bar z \boldsymbol x \cdot \boldsymbol x$

，換言之復內積只對一個變元線性，對另一個變元則是共軛線性

當然你還可以問為啥範數必須是非負實數，回答是我們需要用範數來誘匯出距離，它等於連線兩點的向量的範數，

$d(x,y):=\|x-y\|$

，which must be 非負實數

當然你還可以問為啥距離必須是非負實數，回答是我們需要滿足三角不等式

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

，眾所周知複數是不能比大小的，所以距離不能是複數

當然你還可以問為啥需要三角不等式，回答是若不然，則一個收斂序列可能不是柯西序列，這不符合我們關於收斂性的直覺

當然你還可以問為啥允許收斂序列非柯西序列就糟糕，回答是醬紫的話連續函式的概念就廢了，或者說整個拓撲學就寄了╮（╯＿╰）╭

（不許再問拓撲學寄了有啥不好！

標簽：範數內積實數非負為啥

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