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2022年浙江卷解析幾何大題

作者：由 sumeragi693 發表于舞蹈時間：2022-06-20

浙江卷的解析幾何大題以計算見長，不過好在今年的題目有著對合的背景，可以利用對合的性質算出答案。

這裡只選擇第二問來分析。

已知橢圓

$\frac{x^2}{12}+y^2=1$

，動直線

過

$Q(0,\frac{1}{2})$

交橢圓於

。點

在橢圓上，連線

交直線

$l:y=-\frac{1}{2}x+3$

於

。求

的最小值。

看到直線

過定點

，第一反應是

為橢圓上某個對合的一組對應點，於是可以考慮

$k_{PA},k_{PB}$

之間的關係。

易證

$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{1}{36}$

為定值（具體方法見此文），若設

$C(x_1,-\frac{1}{2}x_1+3),D(x_2,-\frac{1}{2}x_2+3)$

，就有

$\frac{-\frac{1}{2}x_1+2}{x_1}\cdot\frac{-\frac{1}{2}x_2+2}{x_2}=-\frac{1}{36}$

，化簡得

。

現在要求

的最小值，可以先求

的最小值，先求

的最小值。

令

，那麼

$18a-5b=72\Rightarrow b=\frac{18(a-4)}{5}\\\Rightarrow a^2-4b=a^2-\frac{72}{5}a+\frac{288}{5}=(a-\frac{36}{5})^2+\frac{144}{25}\geq \frac{144}{25}$

，當且僅當

$a=\frac{36}{5}$

時取等。此時解得

$x_1=\frac{24}{5},x_2=\frac{12}{5}$

，符合題意。

所以

$|CD|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\geq\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{12}{5}=\frac{6}{5}\sqrt{5}$

。

關鍵就在於求出

$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{1}{36}$

，我們要用高考允許的方式寫出這個等式，那麼問題就解決了。

同樣是利用平移+齊次化的方法，將座標原點平移至

，則橢圓變成

$\frac{x^2}{12}+(y+1)^2=1$

，整理得

。

設平移之後

，顯然

不過點

，所以設

，聯立橢圓得

，即

。

由於

橫座標不為0，兩邊除以

得

$(12+n)(\frac{y}{x})^2+m\frac{y}{x}+1=0$

。

方程兩根恰好為

$k_{PA},k_{PB}$

，韋達定理得

$k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{1}{12+n}$

。

注意到

過點

$Q(0,-\frac{1}{2})$

，代入

得

，因此

$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{1}{36}$

。

平移不改變斜率，所以平移之前也有

$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{1}{36}$

，後面步驟同上。

另外補充一點。取得最小值時的

$C_0(\frac{24}{5},\frac{3}{5}),D_0(\frac{12}{5},\frac{9}{5})$

，現在看它們中點

$M(\frac{18}{5},\frac{6}{5})$

的性質。

如果把

$x_1=\frac{18}{5}$

代入上面得到的

，會發現等式無法成立，無法解出對應的

。換句話說，當

運動到點

時，不存在相應的

。

而

是

與

相交所得，不存在相應的

也就意味著

，或者說

為無窮遠點。既然

能運動到無窮遠點，說明

可以無限增大，這與代數法求出的

$|CD|^2=(a-\frac{36}{5})^2+\frac{144}{25}$

沒有最大值相符。

再來考慮一般情況下

$|x_1-\frac{18}{5}||x_2-\frac{18}{5}|$

的值，整理得

$|x_1x_2-\frac{18}{5}(x_1+x_2)+\frac{324}{25}|=\frac{1}{5}|5x_1x_2-18(x_1+x_2)+\frac{324}{5}|$

。把

代入得

$|x_1-\frac{18}{5}||x_2-\frac{18}{5}|=\frac{1}{5}|\frac{324}{5}-72|=\frac{36}{25}$

為定值。

這表示無論

運動到哪裡，它們與

之間的水平距離之積為定值。相應地，

$|CM|\cdot|DM|=(1+k^2)|x_1-\frac{18}{5}||x_2-\frac{18}{5}|=\frac{9}{5}$

為定值。從這個角度來看，當

運動到點

時，由於

，為了保持

$|CM|\cdot|DM|=\frac{9}{5}$

仍然成立，此時的

也必須為無窮大，即

在無窮遠的位置。

當

從

$C_0(\frac{24}{5},\frac{3}{5})$

出發不斷向

靠近時，

減小；

也將從

$D_0(\frac{12}{5},\frac{9}{5})$

出發不斷遠離

，

增大。當

運動到與

重合時，

運動到無窮遠點。而當

越過

到另一邊時，

從0開始增大，於是

也將從另一端開始逐漸向

靠近，

減小。

這個運動是對稱的，也就是說

始終在

的兩側，不會同時在

的同側（否則

一定會在某個時刻相遇，那麼此時

，代入

中無實數解，矛盾），這就意味著

。於是這就是簡單的均值不等式問題，兩數之積為定值，求和的最小值：

$|CM|+|DM|\geq2\sqrt{|CM|\cdot|DM|}=2\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{6}{5}\sqrt{5}$

，取等條件是

，即

是

中點，和我們上面的方法是一樣的結果。

標簽：最小值橢圓平移定值無窮遠

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