James Stewart《微積分》筆記·3.1 Derivatives of Polynomials and Exponential Functions（多項式和指數函式的導數）

作者：由 JackLin 發表于舞蹈時間：2022-05-18

一、常數函式的導數

★

$\frac{d}{dx}\left( c \right)=0$

（

為常數）

證明：

。

二、冪函式的導數

☆ 若

為正整數，則

$\frac{d}{dx}\left( x^n \right)=nx^{n-1}$

。

證明（方法一）：

顯然存在代數恆等式

$x^n-a^n=\left( x-a \right)\left( x^{n-1}+x^{n-2}a+...+xa^{n-2}+a^{n-1} \right)$

。

若

$f\left( x \right)=x^n$

，則

$=\lim_{x \rightarrow a}{\left( x^{n-1}+x^{n-2}a+...+xa^{n-2}+a^{n-1} \right)}$

$=a^{n-1}+a^{n-2}a+...+aa^{n-2}+a^{n-1}=na^{n-1}$

。

證明（方法二）：

。

由二項式定理得

$=\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{nx^{n-1}h+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}x^{n-2}h^2+...+nxh^{n-1}+h^{n}}{h}}$

$=\lim_{h \rightarrow 0}{\left[ nx^{n-1}+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1} \right]}$

$=nx^{n-1}$

。

★（一般情況）若

為任意實數，則

$\frac{d}{dx}\left( x^n \right)=nx^{n-1}$

。

三、來自既有導數的新導數

★

常數乘積法則

：若

為常數且

為可微函式，則

$\frac{d}{dx}\left[ cf\left( x \right) \right]=c\frac{d}{dx}f\left( x \right)$

。

圖記3。1-1 常數乘積法則的幾何解釋

證明：

令

$g\left( x \right)=cf\left( x \right)$

，則

$\lim_{h \rightarrow 0}{c\left[ \frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h} \right]}=c\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}}=cf$

。

★

加法法則

：若函式

和

均可微，則

$\frac{d}{dx}\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]=\frac{d}{dx}f\left( x \right)+\frac{d}{dx}g\left( x \right)$

。（或者表示為

$\left( f+g \right)$

）

證明：

令

$F\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)$

，則

$=\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\left[ f\left( x+h \right)+g\left( x+h \right) \right]-\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]}{h}}$

$=\lim_{h \rightarrow 0}{\left[ \frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}+\frac{g\left( x+h \right)-g\left( x \right)}{h} \right]}$

$=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g\left( x+h \right)-g\left( x \right)}{h}$

。

應用：

$\left( f+g+h \right)$

。

★

減法法則

：若函式

和

均可微，則

$\frac{d}{dx}\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]=\frac{d}{dx}f\left( x \right)-\frac{d}{dx}g\left( x \right)$

。（或者表示為

$\left( f-g \right)$

）

證明：

令

$G\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$

，則

$=\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\left[ f\left( x+h \right)-g\left( x+h \right) \right]-\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}{h}}$

$=\lim_{h \rightarrow 0}{\left[ \frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}-\frac{g\left( x+h \right)-g\left( x \right)}{h} \right]}$

$=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g\left( x+h \right)-g\left( x \right)}{h}$

。

四、指數函式的導數（更多將在3。4節介紹）

利用定義嘗試求函式

$f\left( x \right)=a^x$

的導函式：

$=\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}}=\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{a^{x}\left( a^{h}-1 \right)}{h}}=a^{x}\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{ a^{h}-1}{h}}$

。

注意到當

時

$a^{x}=1$

，則

。

☆ 若指數函式

$f\left( x \right)=a^x$

在

處可微，則在任意點處均可微，且有

。

的定義：

是一個使得

$\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{ e^{h}-1}{h}}=1$

的數。

自然指數函式的導數

：

$\frac{d}{dx}\left( e^x \right)=e^x$

例題解析

（1）若

$f\left(x\right)=x^6$

，則

；（2）若

$y=x^{1000}$

，則

；（3）若

，則

$\frac{dy}{dt}=4t^3$

；（4）

$\frac{d}{dr}\left(r^3\right)=3r^2$

。

求微分：（a）

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$

；（b）

$y=\sqrt[3]{x^2}$

。

解

：

（1）

$=\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right)$

$=-2x^{-2-1}$

$=-\frac{2}{x^3}$

；

（2）

$=\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{2}{3}}\right)$

$=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}$

$=\frac{2}{3\sqrt[3]x}$

。

求曲線

$y=x\sqrt x$

上點

$\left(1,1\right)$

處的切線方程和法線方程。

註釋

：在曲線

上點

處的

法線

（normal line）為經過點

且與點

處的切線垂直的直線。

解

：令

$y=f\left(x\right)$

，注意到

$f\left(x\right)=x\sqrt x=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$

，則

，即在點

$\left(1,1\right)$

處的切線方程為

$y-1=\frac3 2\left(x-1\right)$

或

$y=\frac3 2x-\frac1 2$

，從而得到法線方程為

$y-1=-\frac2 3\left(x-1\right)$

或

$y=-\frac2 3x+\frac5 3$

。

（a）

$\frac{d}{dx}\left(3x^4\right)=3\frac{d}{dx}\left(x^4\right)=3\left(4x^3\right)=12x^3$

；（b）

$\frac{d}{dx}\left(-x\right)$

$=\frac{d}{dx}\left[\left(-1\right)x\right]$

$=\left(-1\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$=\left(-1\right)\times1$

。

$\frac d{dx}\left(x^8+12x^5-4x^4+10x^3-6x+5\right)$

$=\frac d{dx}\left(x^8\right)+12\frac d{dx}\left(x^5\right)-4\frac d{dx}\left(x^4\right)+10\frac d{dx}\left(x^3\right)-6\frac d{dx}\left(x\right)+\frac d{dx}\left(5\right)$