對托里拆利小號悖論的一些理解與啟發

托里拆利小號，在數學上，體積有限大，表面積無窮大。

1、體積與表面積的量綱（意義）不同，二者大小的比較無意義。兩個平行概念的數值的相悖本就是“平行的相悖”，是佯謬，只是看起來“相悖”，實則並行不悖。

2、這是將抽象概念引入現實生活中後所引起的“認知失調”，抽象概念與現實生活二者應該區別看待，在思考二者時應分別採用不同的方法、思維。

如：

1）在數學中可以得到無限的值，在現實生活中卻不會，因為無限本就意味著“不存在”，因為一旦存在了，就確定了，就有限了。2）在現實生活中，我們嘗試製作托里拆利小號，但當口徑小到一定程度，連原子都無法容納的時候，就已經無法繼續將小號按照要求做下去了，因為在這之後，做這樣的小號就需要碾碎做小號的原材料的原子了，而這很難實現。

3）在現實生活中，我們嘗試用油漆給托里拆利小號“鍍膜”，並儘可能鍍得薄。然而，再薄也是單原子層，而該膜依然具有厚度，所以，該做法實際上是以“鍍膜”的形式“填充”小號的體積而已，根本不存在數學上所描述的“無厚度”地“鍍膜”。也即，無法直接將數學得出的抽象結論直接（不加處理）地移用到現實生活中。而“悖論”的噱頭就是來源於，非要用現實生活中的油漆去“填充”和“鍍”數學中抽象的托里拆利小號。

綜上，在運用數學工具指導生活時，請思考是否可以將數學概念直接移用至現實生活中，和數學概念在現實生活中所對應的事物是什麼，以及移用的過程中我們需要如何轉變我們的思維。