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實變函式——Baire定理

作者：由雲端之下發表于舞蹈時間：2022-02-16

定理（Baire定理）設

$E\subset\mathbb{R}^n$

是

$F_{\sigma}$

集，即

$E=\bigcup^{\infty}_{k=1}F_k$

，

是閉集

$(k=1,2,\cdots )$

是閉集，若每個

都沒有內點，則

也沒有內點。

證明：（反證法）假設

有內點，設為

，則存在

$\delta_0>0$

，使

$\bar{B}(x_0,\delta_0)\subset E$

。因為

無內點，所以必存在

$x_1\in B(x_0,\delta_0)$

，且有

$x_1\notin F_1$

。又因為

是閉集，所以可以取到

$\delta_1(0<\delta_1<1)$

，使得

$\overline{B}(x_1,\delta_1)\cap F_1=\varnothing\\$

同時有

$\overline{B}(x_1,\delta_1)\subset B(x_0,\delta_0)$

。再從

$\overline{B}(x_1,\delta_1)$

出發類似的推理作用於

，則可得到

$\overline{B}(x_2,\delta_2)\cap F_2 =\varnothing$

，同時有

$\overline{B}(x_2,\delta_2)\subset B(x_1,\delta_1)$

，這裡可以要求

$0<\delta_2<\frac{1}{2}$

。繼續這個過程下去，可得到點列

$\{x_n\}$

與正數列

$\{\delta_k\}$

，使得對每個自然數

，有

$\overline{B}(x_k,\delta_k)\subset B(x_{k-1},\delta_{k-1}),\overline{B}(x_k,\delta_k)\cap F_k =\varnothing\\$

其中

$0<\delta_k<\frac{1}{k}$

。由於當

時，有

$x_l\in B(x_k,\delta_k)$

，故

$|x_l-x_k|<\delta_k<\frac{1}{k}\\$

這說明

$\{x_k\}$

是

$\mathbb{R}^n$

中的基本列，從而是收斂列，即存在

$x\in\mathbb{R}^n$

，使得

$\lim_{k\to\infty}|x_k-x|=0$

。

另一方面，從不等式

$|x-x_k|\leqslant |x-x_l|+|x_l-x_k|<|x-x_l|+\delta_k,l>k\\$

立即可知（令

$l\to\infty$

）

$|x-x_k|\leqslant \delta_k$

。這說明

$x\in\overline{B}(x_k,\delta_k)$

，即對一切

，

$x\notin E$

。這與

$x\in E$

矛盾，從而假設不成立。

標簽：閉集內點使得定理假設

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