水旋轉為什麼會凹陷？

白雲龍2016-10-26 22:42:15

這是一個很有意思的問題，可以用高中知識解決。我直接上圖了……（點選可以看大圖，字差湊合看吧……）

知乎使用者2016-10-27 01:01:26

以下文字轉自《牛頓的水桶——方勵之文集》

http：//

fang-lizhi。hxwk。org/201

1/09/19/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E7%9A%84%E6%B0%B4%E6%A1%B61687-2011/

牛頓的水桶1687-2011

發表於

2011 年 09 月 19 日

由

方勵之

絕對的轉動

經典物理的開山之作“自然哲學之數學原理”發表於1687年。書中，牛頓第一個講到的物理實驗是水桶實驗。

牛頓說，用一根長的軟吊繩提一桶水，把吊繩擰成麻花狀。如果你握住吊繩，不讓麻花狀的繩子鬆開，桶及桶中的水是相對是靜止的，水面是平的。突然放開手，麻花開始放鬆，吊繩旋轉，水桶也隨著吊繩旋動。最初，桶中的水並不轉動，只有桶在旋轉，桶和桶中的水有相對轉動。慢慢地，水被桶帶動，也開始轉動。最後，水和桶一樣轉動。這時，水和桶之間又是相對靜止的，不轉動的。但水面卻呈凹狀，中心低，桶邊高。牛頓爵士特別說“ I have experienced”。他親自做過這實驗。

這個實驗很容易，任何有水桶和軟繩的人都可以試試。我也多次做過這個實驗。 1957 冬 – 1958年春， 我在河北省贊皇縣南邢郭村下放勞動。天天要用軟吊繩的桶從約十米深的井中打水。水桶的姿態只能用軟吊繩控制。沒有十天半個月的練習，是學不會水桶姿態控制的。結果是，任憑你讓吊桶十五次七上八下，每次提上來的水，大多不過是半桶水，而且在旋轉。常被同吃同住同勞動的老農（其實不老，同我年齡相仿，但農活經驗老道）笑話：“哈哈，半桶知識分子……”。半桶正好作牛頓水桶實驗。牛頓爵士當年可能也在蘋果樹附近的井中打過水，所以，“I have experienced”。

水桶實驗的關鍵是揭露，有兩種“桶及桶中的水是相對是靜止”的狀態。最初（第一狀態），繩被放鬆之前，“桶及桶中的水是相對是靜止的，水面是平的”；最後（第二狀態），繩被放鬆一段時間之後，“水和桶之間又是相對靜止的”， 水面卻是凹狀。兩種狀態中，水和桶之間都是相對靜止的，但水面卻不同，前者平，後者凹。引起牛頓的疑問，為什麼？

為此，牛頓問一位“聰明人”：“為什麼桶中水面有時平，有時凹？”

聰明人答：“這個問題簡單，轉動時水面凹，無轉動時水面平。”

牛頓反詰：“不對吧。你看水桶實驗，在第一和第二狀態時，水相對於桶都是無轉動的。但水面可以是平的（第一狀態），也可以是凹的（第二狀態）。”

聰明人覺得這個問題也不難答：“雖然在第二狀態水和桶之間相對無轉動，但實際上水和桶同時都在轉動，它們並不是在真正的無轉動狀態，只是相對無轉動而已。所以，水面是凹的。”

到要害了，牛頓的興致來了：“那就是說，轉動必須分成真正的無轉動，和相對的無轉動。只在真正的無轉動狀態，水面才平。有相對無轉動，沒有真正的無轉動，還不行。”

聰明人只能同意了：“應當是吧。”

牛頓再追問：“那，誰是在真正的無轉動狀態？”

聰明人意識到這是難題，只能碰碰運氣了：“水井就沒有轉動呀！水井就在真正的無轉動狀態。”

果然被牛頓抓個正著：“哈哈，聰明的朋友，水井建在地球上。如果水井是在真正的無轉動狀態，地球也應當是在真正的無轉動狀態。這不就同哥白尼學說矛盾了嗎？ 地球的自轉一天一圈，公轉一年一圈，雖然比水桶的旋轉慢得多，但也是在轉動呀。”

聰明人語塞：“……”

牛頓緊逼：“再想想，什麼東西在真正的（或絕對的）無轉動狀態？”

聰明人想：是太陽？不對，太陽也有轉動。是銀河系？（牛頓時代，尚無銀河系結構概念）不對，銀河也有轉動……

聰明人已無招架之功了：“牛先生，還是請你告訴我們答案吧。”

其實，牛頓自己也不知道答案。但是，牛頓的過人之處，在於敢大膽假定他自己也沒有見過的東西。牛頓在他的“自然哲學之數學原理”裡假定，“絕對空間：其自身特性與一切外在事物無關，處處均勻，永不移動”。“永不移動”的東西當然是不會有轉動的。所以，“絕對空間”是在絕對的無轉動狀態。儘管，誰也沒見過“絕對空間”。

這樣，水桶實驗的一個自洽的解釋是，只當桶中水相對於絕對空間無轉動時，水面才是平的，否則是凹的。

馬赫的解釋

一百多年後， E。 馬赫 （1838-1916）強烈反對牛頓的解釋。主要理由就是，牛頓的假定 —— “當桶中水相對於絕對空間不轉動時，水面才是平的”—— 是無法實驗檢驗的，無法證偽的。誰知道如何觀測“絕對空間”？

馬赫提出的解釋是，如果桶中水相對於整個星空背景無轉動，水面是平的。當水相對於星空背景有轉動時，水面是凹的。馬赫的解釋中，不需要絕對空間。表面看，馬赫似乎只是用“整個星空背景”替代了牛頓的“絕對空間”。但二者有很大不同，馬赫的解釋是可以檢驗的。人人都看得見“星空背景”，而看不見“絕對空間”。

人類很早就以星空背景作為位置和方向的基本參考系。無論是在陸地上旅行，或在海上航行，星空背景都是有效的導航者。（南邢郭村是一個很孤立的小村。如果在無月夜去其他村，必須靠星空辨識方向。否則，在四面漆黑的平坦的田野上，很容易走失方向，嚴重者走成鬼打牆的圈子。所以，老農警告：“陰天夜不出行”。）

表面看，馬赫的解釋似乎與星空導航相似，實則有很大不同。導航參考系是運動學（位置和方向）問題，而馬赫解釋賦予星空背景特別的動力學性質。他說，水面之所以變凹，是由於星空背景與水之間的相互作用。相互作用是動力學。馬赫還設計了一個“手臂實驗”，類似牛頓的水桶，證明他的動力學解釋，大意是：

“你站在星空下的一塊開闊地。如若你的兩個手臂自然地下垂在身體兩邊，這時你看到的遙遠星空（相對於你）必是不轉動的。然後，你設法讓自己以身體為軸，快速自轉。以致你的兩個手臂不再自然地下垂，而是向兩邊分開。這時，你會看到，整個星空（相對於你）在快速地旋轉。”所以，用你看到的遙遠星空是否旋轉，可以區分兩種狀態“手臂自然地下垂”和“手臂自然地向兩邊分開”。“手臂自然地向兩邊分開”是由於旋轉星空對手臂的作用。

手臂實驗要比牛頓水桶實驗還難做。誰能讓自己快速自轉，以致手臂都不能自然下垂？芭蕾舞演員也難於做到。用芭蕾舞者的裙子在旋轉時張開的角度，似可行。

不過，馬赫的解釋的確可以極精確地驗證，無需牛頓的水桶，芭蕾舞者的裙子，而是用陀螺。陀螺的最基本的動力學性質是它具有轉動慣性。物體慣性的基本動力學性質是：在沒有外界干擾時，動者恆動，靜者恆靜。轉動慣性的基本動力學性質是：在沒有外界干擾時，陀螺的轉軸方向保持恆定，它的指向是不變的。

按馬赫的解釋，一個沒有外界干擾的陀螺軸的指向，應當相對於星空背景無轉動，亦即，

“一旦一個沒有外界干擾的陀螺軸指向星空某一方向，它就總是保持這個方向。”

各種飛行器上的慣性導航系統，就是根據陀螺的這個性質。當飛行器轉向時，慣性導航儀中的陀螺軸指向相對於星空保持不變。所以，不必看星空背景，只要看陀螺，就可以度量飛行器相對於星空的轉動。

再回到牛頓水桶。如果把牛頓水桶和導航陀螺兩者放在一起，讓陀螺軸垂直於吊繩，按馬赫的解釋，當水面是平的時，水相對於陀螺軸一定無轉動，當水面是凹狀時，水面相對於陀螺軸必有轉動，這也可以實驗驗證。至此，在馬赫解釋裡，陀螺，水桶，芭蕾舞旋轉，星空背景等之間的關係，都得到自洽的說明，而且有實驗支援。

愛因斯坦的“顛覆”

如果“無轉動狀態決定於星空背景的作用”，那末，邏輯上就不能否認個別星體也會對動力學無轉動狀態有作用。因為，星空背景是由個別星體構成的。當然，整個星空背景包含大量星體，其作用可能比個別星體的作用大得多。

不過，個別星體的作用是否可以忽略，不能想當然，而應由定量的理論估計。

馬赫也意識到，他的解釋必須有動力學理論支援。他曾企圖建立動力學理論，定量解釋“水面之凹，是由於水與星空背景在相對轉動時的相互作用”。但不成功。

愛因斯坦於1915年建立廣義相對論。

1916 – 1918 年就有人注意到，廣義相對論的一個重要推論是，無轉動狀態不僅取決於星空背景，也決定於個別星體。

如果有一艘飛船飄浮在太空裡，它距離所有星球都很遠。這時，太空飛船裡的導航陀螺軸相對於星空背景是不轉動的。如果飛船離一顆星體太近，按照廣義相對論，導航陀螺軸相對於星空背景是有轉動的。結論是：

“一旦一個沒有外界干擾的陀螺軸指向星空某一方向，它就總是保持這個方向”——在星體附近不再正確。陀螺導航的根據被“顛覆”。

“顛覆”效應的大小，取決於星體的質量和轉動。如果飛船飛到一個快速轉動的大黑洞附近，陀螺軸相對於星空背景會有很強的轉動。這時，不能再用它導航。

幸好，地球的質量不大，自轉（一天一圈）也慢。“顛覆”效應很小。在近地空間的飛機和衛星，仍可以用陀螺導航，廣義相對論只帶來極小的修正。修正有兩項：

1。測地漂移：地球質量引起的陀螺軸相對於星空背景的轉動（1916，W。 de Sitter ［1］）；

2。慣性參考系拖拽：地球轉動引起的陀螺軸相對於星空背景的轉動（J。 Lense 和 H。 Thirring ［2］ ）。

在地球上空一千公里以內的導航陀螺，測地漂移大約是每年千分之一度（角度，下同）。慣性參考系拖拽大約是每年十萬分之一度。

所以，如果你乘的飛機是Airbus 380 （其中就有由鐳射陀螺構成的慣性導航系統），那怕飛行一整天（24小時），飛行距離兩萬公里。測地漂移和慣性參考系拖拽帶來目標偏差，分別不大於1米，和1釐米。導彈的飛行時間短，飛行距離小，廣義相對論的修正更小。

歷時

48

年的“水桶”實驗

今年（2011）五月底，物理評論通訊（Physical Review Letters ）發表了一篇短文，只有五頁 ［3］。它報告了Gravity Probe B 實驗的最終結果。Gravity Probe B 實驗的目的是精密測量地球附近的測地漂移和慣性參考系拖拽，以定量地檢驗廣義相對論。Gravity Probe B 的主要裝置是，一臺極精密的陀螺儀放在一顆衛星上。衛星的軌道為圓形，並經過地球南北兩極上空，離地高度642公里。它測量陀螺軸相對於星空背景的轉動。按廣義相對論計算，在這個衛星上陀螺軸的測地漂移和慣性參考系拖拽，分別是每年千分之1。8度，和每年十萬分之1。1度。

Gravity Probe B 由斯坦福大學C。 W。 F。 Everitt教授主持 。這項實驗歷時48年（1963 – 2011）。前45年 （1963 – 2008），由美國宇航局（NASA）支援。它是美國宇航局支援時間最長的一個專案，共耗資 7億5千萬美元，亦即，五頁的文章，每頁平均耗資1億5千美元。美國宇航局於2008年停止支援。近三年（2009 – 2011），是由沙烏地阿拉伯王國的一位王子 —— 在斯坦福大學獲PhD 學位 —— 在沙特王國找的錢。

儘管Gravity Probe B耗費的時間和財力巨大，其結果並不理想。按原來宣稱的目標，Gravity Probe B 能給出精度達0。01% 的測地漂移資料，和精度達1% 的慣性參考系拖拽資料。而最終結果的精度只分別是 0。28% 和 19%。比預期的精度差十倍以上。 因此，引來不少微詞 ，“花錢太多了……”。

不完全成功的主要原因是，專案主持人低估了技術上的困難。技術的關鍵之一是陀螺的穩定性。我認識Everitt教授，他年紀長我兩三歲。80年代初期，Everitt訪問過中國。那時Everitt 正雄心勃勃招兵買馬，因為專案進入工程階段，需要工程人員。Everitt曾問我：“你認識不認識搞陀螺的中國工程專家，有好的給我推薦。”我說：“試試看”，我知道七機部裡有人研究陀螺技術。但是，Everitt 回美國後不久，就來信說：“不必找了，美國防部不同意找中國陀螺專家，因為陀螺是軍事技術， 不能讓中國專家介入。”

美國防部的戒令，後來好像廢了。Everitt 的團隊裡，有中國學生。可能因為 ，美國防部認識到，Everitt 要做的陀螺，難有軍事應用。Everitt 等在他們的論文中一開始就寫到，他們需要的陀螺的穩定性要比現今最好的導航用陀螺高一百萬倍！Everitt要測“每年十萬分之1。1度”的轉動，那末，陀螺的不穩定性至少應當小於每年百萬分之1度。而Airbus 380上用的鐳射陀螺的不穩定性，不會小於每年1度。所以，它比Everitt 等的要求——小於每年百萬分之1度，要差一百萬倍以上。（物理和天文前沿實驗用的儀器，其精度，一般都比民用和軍事裝置高。許多高精度技術，是物理和天文前沿實驗的副產品。）

我在Everitt的實驗室看過他的陀螺儀原型。它由4個乒乓球大小的水晶球構成。球的每個方向上不得與理想球面有40個原子厚度以上的偏差。球的表面再鍍以鈮。4個水晶球都放在液氦的低溫（1。8K）環境裡，幾乎沒有熱噪聲。在此低溫度下，鈮成為超導體，當鍍鈮水晶球轉動時，會產生磁場。磁場的方向就是陀螺的軸的方向。Gravity Probe B即測量磁場方向相對於背景星的轉動。

雖然Gravity Probe B不完全成功，Everitt 等人近半個世紀的努力，仍是功不可沒。它是第一次在近地空間，用陀螺直截了當地證偽了“一旦一個沒有外界干擾的陀螺的軸指向背景星空某一方向，它就總是保持這個方向”。其結果支援愛因斯坦理論預言的測地漂移和慣性參考系拖拽。

下一輪的“水桶實驗

”

今年（2011），義大利空間局將發射鐳射相對論衛星（Laser Relativity Satellite ［LARES］ ）。計劃費用為4百萬歐元 。其目的是要將慣性參考系拖拽測準到 1% ［4］。LARES 不用陀螺儀。LARES 的軌道本身就是一個陀螺。（同行們正在 關心，義大利債務問題是否會影響 這個專案）。

等著瞧，四百多年的牛頓水桶，還在轉。

參考文獻

［1］ W。 de Sitter ， Monthly Notices of the Royal Astronomical Society， 77， 155， （1916）

［2］ J。 Lense and H。 Thirring， Phys。 Zeits， 19， 156， （1918）

［3］ C。 W。 F。 Everitt

et al。

Phys。 Rev。 Lett。 106， 221101， （2011）

［4］ I。 Ciufolini et al。 Space Sci。 Rev。 148， 71， （2009）

2011， 9。 Tucson

半醒半醉日復日2016-10-27 09:25:25

大半年前的答案竟然被挖了hhh

被羽田中山爸爸點贊受寵若驚

另外請大家無視我用cad畫的醜圖

……………………………………………………………………。

終於有我能答的題啦……

其實這題的物理知識僅僅是高中程度，只是數學方法要一丟丟微積分呢。

其他答主也講到了旋轉液麵液麵曲線實際上是開口向上的拋物線，不僅僅是題中所述的“凹陷”

下面證明為什麼液麵曲線是拋物線

首先進行受力分析，我們選取隨圓柱形容器旋轉的參考系，這是一個轉動的非慣性參考系。液體相對於參考系是靜止的。首先建立座標系以液麵最底部為原點，容器轉軸為縱軸。我們隨意選取液麵上一個微小的液團dm，它的橫座標為旋轉半徑r，縱座標為y，旋轉角速度為w。

這個微小液團收到重力和一個慣性力，如下圖所示

重力大小為dmg，慣性離心力的大小為dm乘向心加速度w2r，如下圖所示

這兩個力合成為合力G‘。這個合力G’我們可以看作一個等效的重力，它的向量方向（斜率）為

-g/w2r。

眾所周知液麵切線方向一定和重力方向垂直，如下圖所示

所以液麵切向方向（斜率）為-1/（-g/w2r）結果是w2r/g。這裡可以建立微分方程

縱座標從0積分到y，橫座標從0積分到r，得到方程

顯然是一個開口向上的拋物線

這裡的r還是x我有點糊塗 大家明白就好。

這裡是運用最基礎的受力分析和牛頓第二定律來求解的，還可以利用勢能流體力學來求解，可以移步到另一個問題 如何證明旋轉杯子的水液麵呈拋物線。

其實這個原理還是很重要的，我正在上《泵與泵站》這門課啦，市政管網利用最多的離心葉片泵的工作原理其實就是這個，不同的僅僅是離心泵的葉輪、泵殼都是專門水力計算和設計完成的。

zcx-cfd2017-08-23 19:29:51

樓上已經有很多有意思的回答了，其實我個人覺著這個問題可以引深為，為什麼水池（或者浴缸）裡的水流出時（進入下水管）是旋轉且凹陷的

樂學者2020-12-21 12:36:38

牛頓的水桶實驗是英格蘭物理學家、數學家、天文學家、自然哲學家艾薩克·牛頓爵士所做過的一個實驗，其本意是想用以證明絕對空間的存在。牛頓的水桶實驗具體過程是這樣的：用長繩吊一水桶，讓它旋轉至繩扭緊，然後將水注入，水與桶都暫處於靜止之中。再以另一力突然使桶沿反方向旋轉，當繩子完全放鬆時，桶的運動還會維持一段時間；水的表面起初是平的，和桶開始旋轉時一樣。但是後來，當桶逐漸把運動傳遞給水，使水也開始旋轉。於是可以看到水漸漸地脫離其中心而沿桶壁上升形成凹狀。運動越快，水面就越凹。直到最後水與桶的轉速相一致時，水面卻仍呈凹狀的。

牛頓認為，水面呈凹狀說明了水正在經歷著真正的、絕對的圓周運動。在開始時，如果假設水桶是不轉動的（即以轉動的水桶為參考系），那麼水相對於水桶就是轉動的，但這時水面卻是平的，即這時水雖然相對於水桶是轉動的，但這卻並不是它真正的、絕對的圓周運動。而在最後，水與水桶同步轉動，這時如果以水桶為參考系，則水是靜止的，不轉動的，但這時水面卻凹狀的，這說明了水雖然相對於水桶這個參考系來說是不轉動的，但它卻正經歷著真正的、絕對的圓周運動。所以，牛頓認為這說明了水面是平還是凹並不取決於水相對於其他參考系（如水桶）的轉動與否，而是取決於其相對於某個特殊的“東西”是否在轉動，而這個特殊的東西便是牛頓所認為的“絕對空間”。

牛頓對於該實驗的解釋，在一百年後遭到奧地利物理學家、哲學家、心理學家、生物學家馬赫的批判。馬赫在其1883年出版的《力學史評》一書中寫道：“牛頓的旋轉水桶實驗只是告訴我們，水對於桶壁的相對旋轉不引起顯著的離心力，而這離心力是由水對償轉讓地球及其他天體質量的相對轉動所產生的。如果桶壁愈來愈厚，愈來愈重，直到厚達幾英里時，那就沒有人能說這實驗會得出什麼樣的結果。”“如果把水桶固定，讓眾恆星旋轉，能夠再次證明離心力會不會存在嗎？”也就是說，

馬赫認為水與水桶相對轉動與否雖然無法判斷水面會是平的還是凹的，但眾恆星與水桶中的水之間的相對轉動就難說了

。

馬赫的上述想法被偉大的物理學家愛因斯坦稱之為“馬赫原理”，並對廣義相對論的建立起到了啟發的作用。對於此，本文不擬作出深入的評述。在事實上，如果水真的與天際的眾恆星有相對轉動的話，那麼水面確實必然會變得凹下來。那麼為什麼會這樣呢？這才是本文真正感興趣和想討論的話題。

那麼，為什麼當牛頓水桶中的水與天際的眾恆星之間有相對的轉動時，它的水面確實必然會變得凹下來呢？本文認為這是因為此時水必然會是一個轉動的非慣性系，而且一個參考系是慣性系還是非慣性系則是絕對的。對於此，我們將一步一步的作出詳細的解釋，並由此引出一個更為有意思的結論——

牛頓的水桶相對於深空的星星有轉動時水平必然會是凹下去的，還跟在一個慣性系中物體的運動存在著一個速率的上限有關

。

首先，我們將證明當一個參考系為慣性系時，它為什麼將不會觀測到天際的眾恆星會有顯著的轉動。這可以用下圖來說明：

由上圖可以看出，當一個星體以特定的速度相對於慣性觀測者A與B運動時，離星體近的慣性觀測者A觀測到星體的角速度

要大於離星體遠的慣性觀測者B。這是顯然的，因為角速度

與速率

的關係滿足

，其中

是速度與星體跟觀測者之間的連線的夾角。當速度與夾角

一定時，

越大，角速度

就越小。而根據相對論，一個物體在一個慣性系中的速率存在著一個上限，那就是真空中的光速

，任何物體在慣性系中的運動速率

都不可能大於

（注：本文不考慮宇宙膨脹所引起的速率，這個速度是允許超光速的。但這不是真正的機械運動，所以並不影響本文觀點的成立）。這就是說，上面的速率

是一個有限的值，它最大隻能是無限接近

。而星體離觀測者的距離

則沒有任可大小限制，對於遙遠的恆星或星系，已相當於是無窮大了。於是，我們就得到一個慣性觀測者觀測非常遙遠的星體時，所得到的角速度將會有：

也就是說，對於慣性觀測者來說，它觀測到遙遠的星體的角速度總是接近於0，也就是說它觀測遙遠的星體時，是不會觀測到星體會有顯著的轉動的。例如，離地球最近的恆星是比鄰星，它離地球大約為4。22光年，也就是

年。假設在某時刻比鄰星出現在我們頭頂正上方的天空上，此時它的速率達到了速率上限

且速度的方向與地球跟比鄰星的連線垂直，則我們將觀測到比鄰星的角速度為：

這個角速度的最大值為：

此時，我們要觀測到比鄰星的角度變化了

，則需要花上的時間為：

可見，在速率達到了光速極限時它還是那麼的小！那些離地球遠達數十萬光年的恆星或星系就更不用說了，其角速度必然是小到人類慣性觀測者已無法覺察的地步！也就是說：

如果你是一個慣性觀測者，那麼你必然會觀測到遙遠的星體的角速度接近於0。否則，你就一定不會是一個慣性觀測者。當然，這是在“慣性系中物體的運動速率存在著光速上限”這一前提條件成立時才會有的結論。

如果這一前提條件不成立，“一個慣性觀測者必然會觀測到遙遠的星體的角速度接近於0”這一結論也就不能成立。還是拿比鄰星為例，如果假設比鄰星的速度大小達到了100萬倍光速且其他條件與上述的不變，那麼這時我們要觀測到比鄰星的角度變化了

，則需要花上的時間僅為：

可見，這時我們看到的比鄰星再也不是一顆靜靜地掛在天空中的星星了，而是一顆流星。如果速率沒有上限限制，那麼1000萬倍光速、100000萬倍光速和10000000萬倍光速，……，以及更高的速率都是有可能的。

這樣一來，我們人類所看到的星空將會是另一番景象——滿天的星辰再也不會是全部都是一動也不動的了，而是有許多的星星有可能會變成是一顆顆的流星。然而，我們並沒有看到這樣的星空。可見，我們看到滿天的星辰基本上都是一動也不動的，這可以看作是物體在一個慣性系中的運動速率存在著光速上限的有力的證據。

物體運動線速度的大小存在著一個光速極限，這僅僅是相對於慣性系才能成立，對於轉動的非慣性系，則不能成立。請看下圖：

如上圖，當一個取座標系為柱座標系的非慣性系

以角速度

相對於一個慣性系轉動時，根據相對論，這時它的適配時空度規為：

此時，對於星體的固有時

，則有：

令

為星體沿徑向

的速度分量、

為星體繞轉動的非慣系轉軸旋轉的角速度、

為星體在

軸方向上的速度分量，則（7）式可化為：

其中

是座標時。由於座標時

與固有時

都必須是實數，所以要求下面的不等式成立：

由（9）式可解得：

由於

的最大值為

，所以

的取值範圍不會超過：

由星體繞轉軸旋轉的線速度

可得線速度

的取值範圍不會超過：

由（12）式可以看到，由於

的大小並無限制，所以的

大小也就沒有限制，是可以超光速的。仍以比鄰星為例，如果我們是以角速度

旋轉的非慣性觀測者，則由（12）式可以得到此時觀測到比鄰星的線速度約為

，是遠遠的大於光速。而當時

時，由（12）式可得

，即對於沒有轉動的參考系來說，觀測到星體的線速度的大小將存在著光速上限。

由（10）式可以看到，對於一個相對於慣性系以角速度

旋轉的觀測者A，如果星體離A的距離

十分的遙遠，遠到高達數光年以上，則有

，這時星體的角速度將會是

，即觀測者A將觀測到遠方的星體“集體”以

旋轉，這個角速度與星體離觀測者A的距離

無關，跟星體自身的運動狀態無關。這是因為當

已足夠大時，一律均有

了。

我們可以透過是否可以觀測到遠方的星體存在著統一的非0的角速度來判斷一個觀測者是否是一個相對於慣性系有旋轉的非慣性系。

如在現實中的地球上的觀測者，可以觀測到遠方的星辰東昇西落，每24小時就“集體”繞地球一週，遠方的星體的角速度大小都一樣，與星體離地球的距離無關，與星體自身的運動也無關。這就說明了現實中的地球是一個相對於慣性系有旋轉的非慣性系，它在自轉且每24小時自轉一週。

一個以角速度

相對於一個慣性系轉動的非性系

是由無數個以相同的角速度

繞同一轉軸運動的觀測者來構成的，我們任選一個離轉軸的距離為

的觀測者（質點）

來加以研究，可得到它的四維加速度

為：

其中

是該觀測者的四維速度，

是克里斯托費爾符號（Christoffel symbols），

。可見

是一個分量不全為0的四維向量，這時我們說這個四維向量是一個非0向量。根據四維向量的變換法則

可知，對於一個分量全為0的四維向量，透過任意的座標變換後它的分量都會仍是全為0，即一個0向量在任意的參考系下都將是一個0向量。反之，如果某個四維向量在某個參考系下是非0向量，則它在任意的參考系下都將仍是一個非0向量。

也就是說，一個四維向量是0向量還是非0向量是絕對的

。當一個觀測者的四維加速度為0時，則可得該觀測者的運動方程滿足：

這是一條測地線方程，即這時觀測者

的世界線是一條測地線。當一個觀測者的世界線是一條類時測地線時，這個觀測者就是一慣性觀測者。

因四維加速度是0向量還是非0向量是絕對的，故一個觀測者是慣性觀測者還是非慣性觀測者也是絕對的，進而一個參考系是慣性系還是非慣性系也是絕對的。

我們把觀測者的四維加速度變回到地球近似慣性系中，這時仍有：

因此這時觀測者

必須受到一個向心的四維力

，

這個四維力必須由其他物體對它施加相互作用來提供。

為了計算的方便，我們把上面的四維向心力轉換為三維力

，由

則這時有：

對於牛頓的水桶中的水而言，有

，故這時：

對於水桶中的水，這時它受到兩個力的作用，一是地球對它的引力：

另一個是其他的水對它的支援力，這個支援力一方面要抵消地球對它的引力，另一方面要產生向心力。也就是說，對於這一支援力，有：

即有：

因為

跟支援面垂直，所以我們可以畫出受力分析圖為：

於是我們得到液麵在穩定時應滿足如下微分方程：

解之得：

它是一箇中間凹下去的拋物面。

可見，水面向下凹的本質原因是由於這時水面（支援面）必須給水面上旋轉的水（質點）施加一個四維向心力。這個四維向心力是絕對的，它必須由物體之間的相互作用來產生且在任何座標變換下都不可消去。

而當開始時，水桶在轉而水相對於慣性系卻沒有轉動，水面上的水受到的四維向心力為0，這個為0的四維向心力在任意的座標系變換下都將保持為0，水面（支援面）無需改變自己的形狀以給在其上的水（質點）施加相互作用以產生向心力，所以把參考系換成此時已是非慣性系的水桶，也不能改變水的四維向心力為0這一事實，故這時水面是仍是平的。而當水與水桶同速後，水相對於水桶雖然是靜止的，但相對於慣性系有旋轉，這時四維向心力非0，非0的四維向心力無論透過怎樣的座標系變換都不會變為0，故這時即使把參考系變為水桶系，四維向心力也不可能消去。此時，水面（支援面）上的水（質點）必須靠形狀被改變成了拋物面的水面（支援面）給施加向心力以維持其轉動狀態，故表現出的物理現象就是這時水面依然是凹下去的。

至此，我們可以得到以下的結論：

慣性系和非慣性系是絕對的，一個參考系相對於一個慣性系的轉動是絕對的，而相對於另一個相對於慣系轉動的非慣性系則未必——如開始時以已是非慣性系的水桶為參考系時水是轉動的，但水這時相對於慣性系卻沒有轉動，故這時水並沒構成一個絕對的轉動，水面上的水受到的四維向心力仍為0，水面仍是平的；而當水與水桶同角速度相對於慣性系轉動時，水卻是絕對的在轉動，這時水要受到一個不可消去的四維向心力的作用，水面（支援面）必須給在其上的水（質點）施加這個不可消去的四維向心力以維持水（質點）的轉動，故這時水面是向下凹的。牛頓水桶的水面是平是凹，取決於它是否相對於一個慣性系在轉動。牛頓所說絕對空間，其實可以是任意的一個慣性系。由於相對於慣性系而言，速率存在著一個光速上限，故一個慣性觀測者將會觀測到遙遠星體的角速度十分的接近於0。如果一個觀測者觀測到遙遠的所有星體都以相同的角速度

#FormatImgID_112#

繞自己轉動，則實際上是該觀測者本身以角速度

#FormatImgID_113#

相對於一個慣性系在轉動。這就是為什麼當牛頓水桶中的水作為觀測者觀測到遙遠的星體在集體地轉動時，其水面將會是向下凹的原因所在。