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一個存在性證明題

作者：由 誰也找不到我 發表于 舞蹈時間：2019-07-06

昨天碰到了這麼一個題：

Problem：（標一下出處： CMO 2004p4）

給定

a \in \mathbb{R}

以及

n\in \mathbb{Z}^{+}

，證明：

（a）存在唯一的

x_{0},x_{1},...,x_{n+1}

，使得滿足以下兩個條件：

i。

x_{0}=x_{n+1}=0

ii。

\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_{i+1})=x_{i}+x_{i}^3-a^3

（b）：

\forall i \leq n+1:|x_{i}|\leq|a|

我的一個思路：

好吧我是先算了

n=2,3

的一個情況以後發現這玩意可能跟方程是否有解有關，但是貌似想想看我這裡最好用方法的貌似就是把不知道

x_{i}

都儘可能用

x_{1}

的方程來表示，那麼討論就變得更方便了。

所以關於存在性的證明就這麼寫了（當然我這裡搬標答（因為自己寫的好亂（逃

Proof （Part I）

由條件可知

x_{2}

是關於

x_{1}

的3次多項式，

x_{3}

是關於

x_{1}

的9次多項式，依次類推那麼就有

x_{k+1}

是關於

x_{1}

的

3^{k}

次多項式。那麼我們就知道這樣的多項式方程至少有一個實零點，因為次數一直都是奇數，虛根成對出現。即證存在性。

下面是證明唯一性。。。當時看到證明唯一性的時候我滿腦子都是之前學線性代數和抄群論書（事實證明對我這種智商而言抄書也是學不會的）時候證明單位元唯一的方法，我們先簡單回顧一下（懶得打公式（

一個存在性證明題

（如果侵權了告訴我我刪除圖片）

仿照上面的思路我們也可以很自然的給出唯一性的證明，注意到上面我們說至少一個實零點，所以我們不妨設

x_{0},x_{1},...,x_{n+1}

與

y_{0},y_{1},...,y_{n+1}

同時滿足條件，再推他們彼此相等即可

Proof （Part II）

不妨設

x_{0},x_{1},...,x_{n+1}

與

y_{0},y_{1},...,y_{n+1}

同時滿足條件，那麼由題意，我們有下面式子成立：

\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_{i+1})=x_{i}+x_{i}^3-a^3

……（1）

\frac{1}{2}(y_{i-1}+y_{i+1})=y_{i}+y_{i}^3-a^3

……（2）

兩式相減我們得到了：

\frac{1}{2}(x_{i-1}-y_{i-1})+\frac{1}{2}(x_{i+1}-y_{i+1})=(x_{i}-y_{i})(x_{i}^2+x_{i}y_{i}+y_{i}^2+1)

下面設

|x_{i_{0}}-y_{i_{0}}|=\text{max} \left\{ {|x_{i}-y_{i}|}\ i=0,1,... \right\}

，則有：

\frac{1}{2}|(x_{i_{0}}-y_{i_{0}})+(x_{i_{0}+1}-y_{i_{0}+1})|\geq\frac{1}{2}|(x_{i_{0}-1}-y_{i_{0}-1})+(x_{i_{0}+1}-y_{i_{0}+1})|=A\\ A=|(x_{i_{0}}-y_{i_{0}})||(x_{i_{0}}^2+x_{i_{0}}y_{i_{0}}+y_{i_{0}}^2+1)| \geq |x_{i_{0}}-y_{i_{0}}|

（啊這一串角標打到想死，要是哪裡打錯了請指正qwq

於是得到了：

|x_{i_{0}+1}-y_{i_{0}+1}|\geq |x_{i_{0}}-y_{i_{0}}|\Rightarrow |x_{i_{0}}-y_{i_{0}}|=0

唯一性得證

考慮到這個文章標題所以第二問先不放證明，這個問題處理也不難

以後考慮會搬運一點美國書上的題目來做一做（例如Evan Chen等人的講義什麼的）

標簽： 唯一性  證明  多項式  proof  PART 

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