平行宇宙、面積與機率論。
上一次貝葉斯公式的討論後，大家都對機率論充滿了興趣，今後幾節就講機率論啦~這次因為沒有準備，就胡亂說一些我對機率論的理解叭~
當然上一次的貝葉斯課程被打臉沒有嚴謹的推導，這裡宣告一下本專欄是機器學習基礎課程，面向對機器學習充滿興趣的非數學專業初學者，為他們更好理解機率論/線性代數/微積分/機器學習知識，並不涉及嚴格意義上的推導。
而本文中的提出的觀點與定義均為方便我們理解機率論的本質，不能作為嚴格的數學定義。
ps： 本節多為哲學內容，看不懂就全當我在胡扯就好了。
1 機率
什麼是機率？
機率亦稱“或然率”、“機率”。它反映隨機事件出現的可能性大小的量度。
emmmmm，簡單來講機率是用來描述某種事情發生可能性的一種度量，比如投擲一個骰子點數為1的機率是1/6，明天晴天的機率是1/10。
這個定義是十分抽象的一個東西，我們可能會提出一些疑問，這個可能性的大小是怎麼來的呢？為什麼點數為1的機率是1/6？為什麼晴天的機率是1/10？怎麼得到的如此精確的數字？這些隱藏在定義後面的哲學問題，才是我們今天要探尋的關於機率論的本質。
先看一個小問題？
小明同學今年高三要參加高考，但是他平時不愛學習，在考試的時候他發現一道三選一的選擇題他題都看不懂，他就隨便蒙了某個選項。這時他偷偷瞥了一眼看到了旁邊學霸的試卷，學霸是年級第一，他看到學霸把不是它選的那個選項排除掉了，請問這時小明應該堅持還是改為另一個選項？
當然為了防止槓精出現，我們做如下的假設。
1。出題人出題的時候設定正確答案是ABC選項是完全隨機的。
2。小明啥也不知道，完全是蒙的，選哪個題也是完全隨機的。
3。學霸會劃去哪一道題不一定，但肯定不會劃去小明選的這個，而且學霸肯定會做對這道題。
聰明的人應該可以想到，如果自己之前選對了，改了一定會錯，如果之前選錯了，改了一定對，那麼說改對的機率就是自己選錯的機率，選錯的機率是2/3，那麼改對的機率是2/3！所以這時候一定要改成另一個選項啊！
但是為什麼會這樣呢？想一想排除了一個選項，剩下的兩個選項正確的機率都是1/2啊，為什麼換一換做對的機率就大？WTF？？
如果上一節課的貝葉斯理論的第二個意義真正搞明白了，也就不難推測出為什麼換一換選對的機率高，這就是新的資訊到來後透過調整先驗機率得到後驗機率的例子。（有興趣可以自己推導一下）
但是有些人就是認死理，就覺得不對，明明事實就是二分之一，那我們現在就用模擬的方法來說明為什麼改了之後正確率高。
2。平行宇宙
什麼是平行宇宙？
多元宇宙是一個理論上的無限個或有限個可能的宇宙的集合，包括了一切存在和可能存在的事物：所有的空間、時間、物質、能量以及描述它們的物理定律和物理常數。多元宇宙所包含的各個宇宙被稱為平行宇宙（parallel universes）。
無論是看復仇者聯盟還是看其他的動漫片，我們所在的宇宙並非唯一這一事實應該被所有動漫迷承認，而在每個宇宙中都會有一個你，可能今天你在看機率論時，另一個宇宙的你在為了保衛地球而努力，各個宇宙之間互不影響，而且各個宇宙的發展情況已經註定（就像奇異博士穿梭了這麼多次還是被滅霸打敗了）。
我們在這無數個平行宇宙中選取了360個宇宙，而這360個宇宙中的小明都在為了這個數學題猶豫不決。其中有120個宇宙中正確答案是A，120個正確答案是B，120個正確答案是C。在這120個A是正確答案的宇宙中，有40個宇宙的小明選了A，40個選了B，40個選了C。這樣整理一下是這樣的：
而小明當小明看到了學霸的試卷後，如果小明做對了，看到學霸做的題可能會是排除掉任意一個其他選項，如果小明做錯了，那麼學霸排除的一定是錯誤答案。
然後在選正確答案是A且小明選A的情況下的這40個世界裡，有20個小明看到了學霸劃去的B選項，有20個小明看到了學霸劃去的C選項……這樣統計一下所有的宇宙中，如果所有的小明都選擇改正確答案的話，有多少個宇宙的小明做對呢？
有240個宇宙的小明都做對了，也就是說如果我們選擇這個策略，那麼在某個平行宇宙中小明做對的可能性就更高了，畢竟有360個宇宙中，大部分的都會做對。
這裡我們透過平行宇宙的方式模擬給出了為什麼要換答案的解釋，可是為什麼要扯到平行宇宙呢？
因為這就是我覺得最能描述機率本質的方法，機率是一個確定的事實，這個可能性不是通過歷史推演而得到，無論你關注或是不關注它，它就在那裡。我們可以透過大量的資料去猜測機率，但並不是因為你拋硬幣1000000000次發現正反次數相同你就說正反機率是相同的，而是在某一時刻所有宇宙拋硬幣結果正反比例是1！而你並不能夠以造物主的視角看待這個世界，所以在你看來拋硬幣是隨機的。
在這裡所有存在細小不同的平行宇宙組成的集合，人們喜歡把它叫做樣本空間。
3。 面積
我們透過平行宇宙來描述機率的本質，但是我們不能用平行宇宙來描述機率，因為這會讓機率變得更加抽象，這裡我們引入面積來描述機率。
我們想象有一個平面，平面的面積是1，這個平面中的每一個小點代表一個平行宇宙，例如某時刻拋硬幣為正和某時刻拋硬幣為反的宇宙，我們會發現在這個平面中這兩種宇宙的比例是相同的。
相應的，我們透過這兩種概念定義機率論中最常用到的事件和隨機變數。
什麼是事件？
平行宇宙的觀點：
事件是一些平行宇宙的集合。
面積的觀點：
事件是平面中的點的集合。
什麼是隨機變數？
平行宇宙的觀點：
隨機變數是某些宇宙中發生的事件結果。
面積的觀點：
隨機變數是對面積中的某些點到某個值的對映。
舉個例子：
事件A：小明擲骰子一個是6一個是4
隨機變數f（A）=x：小明擲兩個骰子的和為10
而當我們想要描述事件發生的機率和隨機變數發生的機率時，引入面積描述的方法會讓我們更直觀的理解。
如何描述事件發生的機率？
面積的方法： 在面積為1的平面中，符合該事件的點所佔的面積。
平行宇宙的方法： emmmmmm…
如何描述隨機事件發生的機率？
面積的方法： 在面積為1的平面中，所有能夠透過某種對映到某一值的點所佔的面積。
平行宇宙的方法： emmmmm…那個…啊……
機率即是面積
這一說法是不正確的，機率是一個客觀存在的東西，可以用很多方法描述，但是面積是最好能夠刻畫機率的一個東西。
哈！其實這裡畫幾個圖應該是最好理解的了，如果有空的話我後面會補上的，如果沒有的話請大家自行腦補啦！
