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Vintage損失率轉為年化損失率（續篇）

作者：由 石楠 發表于 文化時間：2021-02-14

本文首發於公眾號《大資料建模筆記》

上篇文章最後所說的根據不同期數或不同還款方式的資產規模計算加權平均損失率時所使用的權重不僅與放款金額有關也與放款期數有關，本文對此演示詳細的推導過程，同時也對相同還款方式不同期數的年化損失率的混合計算方法進行證明。

一、加權平均年化損失率

假設：

放款金額

A_{i}

，放款期數

T_{i}

，全週期損失率

vtg_{i}

，年化損失率

AnnLoss_{i}

，

i=1,2,...,N

。

加權平均年化損失率為：

AnnLoss=\frac{\sum_{1}^{N}{w_{i}*AnnLoss_{i}}}{\sum_{1}^{N}{w_{i}}}

其中

w_{i}

為放款金額

A_{i}

的權重，下面用本金佔用的方法分三種情況對加權平均年化損失率的權重

w_{i}

進行推導。

（一）

A_{i}

均為等額本金

則有

AnnLoss_{i}=vtg_{i}*\frac{24}{T_{i}+1}

（1）本金

\sum_{1}^{N}{A_{i}}

全週期損失金額：

\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}

（2）本金

\sum_{1}^{N}{A_{i}}

滿額佔用時間：

T=\frac{1}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}\sum_{1}^{N}{\sum_{1}^{T_{i}}{\frac{A_{i}}{T_{i}}t}} =\frac{1}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}\sum_{1}^{N}{A_{i}\frac{T_{i}+1}{2}}

（3）年化損失率：

AnnLoss=\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}*\frac{12}{T}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}*\frac{12}{\frac{1}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}\sum_{1}^{N}{A_{i}\frac{T_{i}+1}{2}}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =24*\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}*(T_{i}+1)}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad①\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =24*\frac{A_{1}*vtg_{1}+A_{2}*vtg_{2}+...+A_{N}*vtg_{N}}{A_{1}*(T_{1}+1)+A_{2}*(T_{2}+1)+...+A_{N}*(T_{N}+1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =\frac{\frac{A_{1}}{(T_{2}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}*vtg_{1}*\frac{24}{T_{1}+1}+\frac{A_{2}}{(T_{1}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}*vtg_{2}*\frac{24}{T_{2}+1}+...+\frac{A_{N}}{(T_{1}+1)...(T_{N-1}+1)}*vtg_{N}*\frac{24}{T_{N}+1}}{\frac{A_{1}}{(T_{2}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}+\frac{A_{2}}{(T_{1}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}+...+\frac{A_{N}}{(T_{1}+1)...(T_{N-1}+1)}}\\ =\frac{\frac{A_{1}}{(T_{2}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}*AnnLoss_{1}+\frac{A_{2}}{(T_{1}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}*AnnLoss_{2}+...+\frac{A_{N}}{(T_{1}+1)...(T_{N-1}+1)}*AnnLoss_{N}}{\frac{A_{1}}{(T_{2}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}+\frac{A_{2}}{(T_{1}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}+...+\frac{A_{N}}{(T_{1}+1)...(T_{N-1}+1)}}\qquad

（4）所以可得放款金額

A_{i}

的權重

w_{i}

為：

w_{1}=\frac{A_{1}}{(T_{2}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ w_{2}=\frac{A_{2}}{(T_{1}+1)(T_{3}+1)...(T_{N}+1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ ...\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ w_{i}=\frac{A_{i}}{(T_{1}+1)...(T_{i-1}+1)(T_{i+1}+1)...(T_{N}+1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ ...\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ w_{N}=\frac{A_{N}}{(T_{1}+1)...(T_{N-1}+1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

（二）

A_{i}

均為先息後本

推導過程同上：

w_{1}=\frac{A_{1}}{T_{2}T_{3}...T_{N}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ w_{2}=\frac{A_{2}}{T_{1}T_{3}...T_{N}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ ...\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ w_{i}=\frac{A_{i}}{T_{1}...T_{i-1}T_{i+1}...T_{N}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ ...\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ w_{N}=\frac{A_{N}}{T_{1}...T_{N-1}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

（三）

A_{1}

為等額本金和

A_{2}

為先息後本

兩種還款方式的權重推導過程同上類似：

w_{1}=\frac{A_{1}}{2*T_{2}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ w_{2}=\frac{A_{2}}{T_{1}+1}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

二、混合計算方法的證明

混合計算是指，同一產品相同還款方式的不同期數放在一起看成整體，以加權平均期數作為整體的期數，然後用整體的全週期損失率vtg計算年化損失率，以等額本金為例進行證明（其他還款方式推導過程相同）：

（1）以放款金額為權重，計算加權平均期數：

\bar{T}=\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*T_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}

（2）整體的全週期損失率：

vtg=\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}

（3）混合計算的年化損失率：

AnnLoss=vtg*\frac{24}{\bar{T}+1}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}*\frac{24}{\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*T_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}}}+1}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =24*\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}*T_{i}}+\sum_{1}^{N}{A_{i}}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =24*\frac{\sum_{1}^{N}{A_{i}*vtg_{i}}}{\sum_{1}^{N}{A_{i}*(T_{i}+1)}}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad②\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

可以看出①式和②式是相同的，即證明了混合方式計算的年化損失率與不同期數的加權平均年化損失率是等價的。實際上兩者的本質是相同的，均是從本金年均佔用角度進行推導的。

混合計算方法在工作中經常使用，我們會常看產品各期資料放在一起的vintage趨勢，為了計算整體年化損失率，可以直接以放款金額為權重計算加權平均期數，然後將整體作為單一期數的產品進行年化損失率的轉換。

此外，上面的推導沒有考慮等額本息，其公式過於複雜。在期數較小時，比如小額消費貸產品期數大多在12期以下，等額本息與等額本金的現金流相差不大，在計算年化損失率時，一般可以將等額本息看作等額本金處理。

標簽： 損失率  年化  期數  等額  放款 

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