SIMULATION OF WRINKLED SURFACES

1978年的遠古文，第一次提出了bump map的思想，雖然和現在的實現差別挺大，但其中的推導在基於高度圖的渲染中經常用到。

假設存在某曲面網格，存在一張切線空間的高度圖，針對某一點P，在該點取樣得到偏移高度F，則P點沿法線偏移後得到

該點還存在以下定義

Pu：曲面函式沿u方向的偏導

Pu‘：偏移後沿u方向的偏導

Pv：曲面函式沿v方向的偏導

Pv’：偏移後沿v方向的偏導

uv為切線方向

由定義可得

由於是微表面，F可以視為無限小

得到：

新法線為：

第一項是Pu點積Pv，即N。最後一項是0，將上式轉為：

這裡可以觀察到（N x Pv）和（N x Pu）是與曲面相切的平面。它們中的每一個都與F在u和v方向上的導數一起按比例去影響N，見圖3

另一種幾何解釋是

向量N‘來自原始向量N沿切線平面中的某軸旋轉得到。這個軸向量可以被表示為N和N’的叉積。

由於：Qx（RxS） = R（Q。S） - S（Q。R）

且 N。Pu = N。Pv = 0

得：

這個向量A，正好垂直於F的梯度向量（Fu，Fv）

由於

且N與D垂直，所以

得到：

N， D 和 N’恰好構成一個直角三角形

ref：SIMULATION OF WRINKLED SURFACES

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