開心玩轉“任意”與“存在”的不等式問題

作者：由果數託哥發表于收藏時間：2020-09-07

數學是詩，不懂韻律，不會吟詩；數學是詞，不識音律，不能作詞；數學還是一棵樹，上面長滿了數字與符號的誘人果實。果數，研究數學解題技巧，共享數學精品資料，偶爾吐槽風月，與您一同成長，見證數學的豐收。

引言

恆成立與存在性問題分別對應全稱命題與特稱命題中的“任意”與“存在”，注意“存在”的另外幾種表述是“能成立”，“有解”，“解集非空”等，所以如果題目中出現這樣的表述都可劃歸為相同問題來解答。對於此類問題，大多數同學無法確定正確的轉化思路，導致難以處理和解決。事實上，不等式恆成立與存在性的問題常常轉化為函式的最值問題。

本文從轉化思路的方向出發，將此類複雜問題簡單化，讓大家從枯燥紛亂的邏輯中解脫出來，從而回歸最基礎的常規化操作。特別提醒，此類問題不設限！不同層次的童鞋都可以看懂並掌握噢~

問題結論

（一）單個變數“任意”或“存在”的不等式問題（左右滑可檢視公式）：

$\text { (1) }\forall x \in(a, b), \quad f\left(x\right)>k \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\min}>k；\ \\$

$\text { (2) }\forall x \in(a, b), \quad f\left(x\right) > g\left(x\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow[f(x)-g(x)]_{\min } > 0 \\$

$\text { (3) } \forall x\in(a, b), \quad f\left(x\right) < k \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\max } < k \\$

$\text { (4)} \forall x\in(a, b), \quad f\left(x\right) < g\left(x\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow[f(x)-g(x)]_{\max } < 0 \\$

$\text { (5) }\exists x_{0} \in(a, b), \quad f\left(x_{0}\right)>k \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\max }>k；\ \\$

$\text { (6) }\exists x_{0} \in(a, b), \quad f\left(x_{0}\right)>g\left(x_{0}\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow[f(x)-g(x)]_{\max }>0 \\$

$\text { (7) }\exists x_{0} \in(a, b), \quad f\left(x_{0}\right) < k \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\min } < k \\$

$\text { (8) } \exists x_{0} \in(a, b), \quad f\left(x_{0}\right) < g\left(x_{0}\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow[f(x)-g(x)]_{\min } < 0 \\$

（二）兩個變數“任意”或“存在”的不等式問題：

$\text { (9) }\exists x_{1}, \quad x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\max }>g(x)_{\min } \\$

$\text { (10) }\exists x_{1}, \quad x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right) < g\left(x_{2}\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\min } < g(x)_{\max } \\$

$\text { (11) }\forall x_{1}, \quad x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right) < g\left(x_{2}\right) \text { 恆成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\max } < g(x)_{\min } \\$

$\text { (12) }\forall x_{1}, \quad x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right) > g\left(x_{2}\right) \text { 恆成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\min } > g(x)_{\max } \\$

$\text { (13) }\forall x_{1} \in(a, b), \quad \exists x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\min }>g(x)_{\min } \\$

$\text { (14) } \exists x_{1} \in(a, b), \quad \forall x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\max }>g(x)_{\max } \\$

別被嚇到啦，14個結論靠背記下來是不合理的，後面會分享一種巧妙記法讓大家開心玩轉不等式的任意和存在性問題。在此之前先選取幾個結論從一個新的角度進行解讀和理解，知其然更要知其所以然噢。

結論解讀

解讀應該不難，如果看不懂可以跳到後面的“巧記結論”。

結論（1）等價問題：如何證明從班裡（

）任選一個

同學出來，其身高

都大於k？

相信大家肯定不會一個個同學的身高都量一下吧，那也太慢了~

最快的方法就是站成一排，選出最矮的同學，量出其身高即可證明！即

$k < f(x)_{min} \\$

結論（2）等價問題：如何證明從班裡（

）任選一個

同學出來，其飯卡餘額

都大於0？

最快的方法就是找到飯卡餘額最少的同學，查出其數值即可證明！即

$0 < h(x)_{min} \\$

至於怎麼找，那就是求最值的事情啦~

結論（5）等價問題：如何證明班裡（

）有同學（

），其身高

會大於k？

要找出身高大於k的同學，肯定要一個個量，好麻煩啊。

我們仔細分析問題，發現題目只是證明“有同學”，即證明至少有一個同學滿足條件，並不需要知道具體哪些同學，於是問題就變得簡單了：能不能像結論（1）一樣，找到特殊的一個同學即可證明結論？

沒錯！找出最高的同學量身高，如果其身高大於k，就說明至少有一個同學滿足條件，問題得證。反之，如果連最高的同學其身高都不大於k，說明沒有同學的身高會大於k。由此有

$k < f(x)_{max} \\$

結論（12）等價問題：如何證明從班裡（

）任選兩個同學

出來，

的身高

都會大於

的體重

？

有前面的鋪墊，我們知道，要讓“任選的同學”都能滿足條件，並不需要兩個兩個的選出來進行比較，只需讓最矮的同學和最重的同學出來比較即可，若最小的身高都大於最大的體重，問題得證。即

$f(x)_{min} > g(x)_{max} \\$

結論（13）等價問題：如何證明從班裡（

）任選一個同學

出來，無論其身高

是多少，都能找到至少一個

同學，讓

的身高

大於

的體重

？

很明顯，問題中的任選同學，我們不能真的去“任選”，那工作量太大，把問題簡化一下：任選的都要大於某個量，根據前面的經驗，只需選出最小的若能大於某個量，那“任選的”自然都滿足大於某個量，因此，身高要最小；

再看看“某個量”，從問題中看，“某個量”至少有一個就行，不一定全部量都要，即最小身高沒必要大於全部體重，只需大於一個體重即可滿足條件，這個體重是什麼體重呢？

沒錯，就是最小體重！如果大於最大體重，那就大於全部體重了，明顯不合題意。

舉個栗子：一隻熊一直追著你跟其他九個人，如何才能不被吃掉？

大家第一個想法可能是：跑到其他所有人的最前面。

看來大家很缺乏安全感啊，這確實是一個好方法，但不是唯一的方法。

學數學有一個好處，可以讓人的思維全面而嚴謹，比如這個栗子最完整的答案是：只要跑得比除你以外的九個人中最慢的那個快就可以了。即只要有人比你慢就行了，這個答案包含了所有情況，哪怕是跑到其他所有人最前面也是跑得比最慢的那個快，難道不是嗎？這就是數學的邏輯啊。

所以，結論（13）等價於最小身高大於最小體重，即

$f(x)_{min} > g(x)_{min} \\$

好了，其它結論都是同理，迴歸到現實問題就容易理解啦，大家有興趣可以自己試試解讀噢~

下面介紹一下如何巧妙記住結論的方法。

巧記結論

（一）單個變數“任意”或“存在”的不等式問題

此類問題，只需記住一句口訣，即“恆成立問題，參（常）數在左，函式在右，大於最大，小於最小，存在性問題反之”。

比如結論（1）可寫成：

$\text { (1) }\forall x \in(a, b), \quad k < f\left(x\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow k < f(x)_{\min}；\ \\$

結論（5）可寫成：

$\text { (5) }\exists x_{0} \in(a, b), \quad k < f\left(x_{0}\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow k < f(x)_{\max }；\ \\$

可以發現存在性問題轉化的最值剛好跟恆成立問題相反，因此，我們只需記住恆成立的結論即可。

其它結論，大家也可以動手寫成“參（常）數在左，函式在右”的句式，比如：

$\text { (2) }\forall x \in(a, b), \quad f\left(x\right) > g\left(x\right) \text { 成立 } \Leftrightarrow 0 < [f(x)-g(x)]_{\min } \\$

（二）兩個變數“任意”或“存在”的不等式問題：

此類問題，只需記住兩個結論，即：

$\text { (11) }\forall x_{1}, \quad x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right) < g\left(x_{2}\right) \text { 恆成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\max } < g(x)_{\min } \\$

$\text { (12) }\forall x_{1}, \quad x_{2} \in(a, b), \quad f\left(x_{1}\right) > g\left(x_{2}\right) \text { 恆成立 } \Leftrightarrow f(x)_{\min } > g(x)_{\max } \\$

上面兩個變數中，無論哪個變數前面的“

$\forall$