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物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）

作者：由 The Antarctica 發表于收藏時間：2022-10-27

大量相同的狹縫等間隔平行地排列就構成一個光柵，如下圖1所示，

為縫隙寬度，d為光柵的週期。

$物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）$

圖 1

正入射照明時光柵的

Fraunhofer

衍射

我們考慮下圖2

$物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）$

圖 2

P 點的光場強度應該是所有狹縫的貢獻之和，也就是

$E(P) = E^1(P) + E^2(P) + … + E^N(P)\\$

$E^m(P) = E_0(P) \cdot e^{i\varphi_m} \frac{\sin \beta}{\beta} \\$

這是第m個狹縫在觀察屏P點處的振幅，

$e^{i\varphi_m}$

是第m個狹縫發出的光在P點處的相位。我們下面計算相鄰狹縫的相位差

$\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta = \frac{2 \pi}{\lambda}\cdot d\sin \theta\\$

那麼就有

$E(P) = E_0(P) \frac{\sin \beta}{\beta}(1 + e^{-i\delta} + e^{-i2\delta}…+ e^{-i(N-1)\delta})\\$

經過運算得到

$E(P) = E_0(P) \frac{\sin \beta}{\beta}\frac{e^{-iN\gamma\frac{N}{2}\delta}}{e^{-i\gamma}}\cdot \frac{\sin N\gamma}{\sin\gamma}\\ E(P) = E_0 \frac{\sin \beta}{\beta}\cdot \frac{\sin N\gamma}{\sin\gamma}\\$

將係數都歸於

，這裡有

$\gamma = \frac{\pi}{\lambda} d\sin\theta$

，也就是說

$\gamma$

是相鄰狹縫相位差的一半。那麼強度分佈就有

$I(P) = I_0 \frac{\sin^2 \beta}{\beta^2}\frac{\sin^2 N\gamma}{\sin^2\gamma}\\$

$\frac{\sin^2 \beta}{\beta^2}$

是衍射因子，

$\frac{\sin^2 N\gamma}{\sin^2\gamma}$

是多光束干涉因子。

衍射因子的強度分佈我們已經討論過了，如同下圖3。

$物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）$

圖 3

對多光束干涉因子求極值，我們可以給出下面的結論：

$when \quad \sin \gamma = 0$

，此時是主極大。

$d\sin\theta = k \lambda\\$

這個方程就是光柵方程。

$when \quad \sin N\gamma = 0$

，此時是極小的位置。

$d\sin\theta = \frac{m}{N} \cdot \lambda\\$

其中

$\frac{m}{N}$

不等於整數

$when \quad N\tan\gamma = \tan N\gamma$

，此時是次級大的位置。

$物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）$

圖 4

如圖4是多光束干涉因子的光強分佈圖，我們可以看到主極大之間有 N-1 個極小值，之間還有 N-2 個次級大值。如圖5是光柵衍射的光強分佈

$物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）$

圖 5

我們可以得到，縫數N越大，光柵干涉極大條紋越亮，並且越尖銳。我們還可以看到缺級現象

$干涉因子極大 \quad d\sin\theta = k \lambda\\ 衍射因子極小 \quad b\sin\theta = k^{\prime}\lambda\\$

因此

$\frac{d}{b} = \frac{k}{k^{\prime}}\\$

當這個等式成立的時候，干涉條紋的極大值就會出現缺失。

光強曲線中兩個相鄰主極大之間有（N-1）個極小和（N-2）個次極大。當 N 很大時，次極大和極小的數目都很大，實際上它們在相鄰兩個主極大之間形成一個暗區。N越大，暗區越寬，明紋越窄。光能越集中，使主極大變亮又細。光柵衍射條紋具有“細”“亮”“疏”的特點。

光譜分析

我們前面已經寫出了光柵方程

$d \cdot \sin\theta = k \lambda\\$

同一級干涉極大上，不同波長的光色散開，這種色散作用可用來進行光譜分析。光譜分析的精度與光柵的下列引數有關：色散率、色分辨本領、自由光譜程。

色散率

我們定義色散率為

$\frac{d\theta}{d\lambda}\\$

那麼根據光柵方程，我們可以得到

$\frac{d\theta}{d\lambda} = \frac{k}{d \cos\theta}\\$

色分辨本領

由於干涉條紋有一定寬度，因此當兩個波長相差很小時，兩條紋會重疊，以至於不可分辨，所以一個光柵有一定的色解析度。我們定義色分辨本領為

$\frac{ \lambda}{\Delta\lambda}\\$

在一定的計算之後我們就可以得到

$\frac{ \lambda}{\Delta\lambda} = k\cdot N\\$

光柵的N大概在

的量級，光柵的色分辨本領也同樣在這個量級。

閃耀光柵

我們考慮如圖6的閃耀光柵

$物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）$

圖 6

先分析光的衍射。當反射面相當大時，光束沒有限制，也就沒有衍射。當反射面有限，且滿足遠場條件時，衍射為夫琅禾費衍射，按原來幾何光學定律傳播的方向為衍射零級方向，單縫衍射的強度分佈為對稱地分佈在零級的兩側。

沿

$2\theta_b$

方向上各相鄰槽面之間的光程差為

$\Delta = d\cdot \sin 2\theta_b\\$

如果使它恰好等於一個光波長

$\lambda$

，這就是各槽面間干涉1級主極大的位置。這表明，槽面干涉1級主極大和槽面衍射零級主極大相重合；並且，因為

$b \approx d$

，這表明槽面間干涉的其他主極大都真好和衍射極小值位置重合。也就是，其他級都缺級，只有槽面間干涉的1級獲得全部入射光的能量。

$物理光學 | 4-5 衍射光柵（Diffraction Grating）$

圖 7

如圖7所示，這就是閃耀光柵的色散效果，我們只需要關注這一個色散的部分，對於光譜分析是非常有用的。

針對 @溫麻老妖問題的補充

這個方程是物理方程，干涉因子主極大值的出現應該根據實際情況做出意義的闡釋。干涉因子主極大點滿足

$d\sin \theta = k \lambda\\$

因為從圖中的幾何關係來看，

$d\sin \theta$

正好是相鄰狹縫的光程差，那麼相位差就有

$\delta = \frac{2 \pi}{\lambda}d\sin \theta = 2k \pi\\$

所以，各個縫出射的光在主極大值點步調一致，干涉相長。有N個狹縫，那麼幹涉後的振幅就是原振幅的N倍，光強是原來的

倍。我們用洛必達法則求出

$\frac{\sin^2 N\gamma}{\sin^2\gamma}$

逼近主極大值點的極限值，也可以得到相同的結論。那麼從數學角度思考，我們補充定義域，就是

$\begin{cases} N^2,\quad \mbox{for} \ \gamma= k\pi\\ \frac{\sin^2 N\gamma}{\sin^2\gamma}, \quad \mbox{for} \ \gamma\ne k \pi \end{cases}\\$

這個函式的影象和我們給出的圖四是完全一樣的，定義域為R。但在物理上，我們習慣地用正文中的表達。

標簽：光柵主極大干涉衍射狹縫

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