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【國際數學競賽】2017袋鼠數學競賽(Math Kangaroo)-Level 6真題講解

作者：由雙木止月Tong 發表于收藏時間：2020-03-20

在上一篇中我們介紹袋鼠數學競賽（Math Kangaroo），這一篇就來看看它的難度如何，下面給出了2017年Level 6，也就是最難的11年級-12年級參加的，最後10道真題。大家可以先做一下題，感受一下難度，後面會給出詳細解答：

注：以前Level 6一共24題，現在level 3~6一共30題

2017-Math Kangaroo Level 6-Problem15~Problem 24

參考答案：

15~20：CDCEE

21~24：DEDAE

詳細解答：

答案：C

詳解：

設

表示整數

各個數位上的數子之和。根據題意可知，

。不難發現，如果進一位，數位上的和減少8；進兩位，數位的和減少17；依次類推，進

位，數位的和減少

。

設

，

進

位，根據

，

於是

很容易發現，

$k_{\min}=4$

因此，較小的整數最少擁有

$\boxed{5}$

個數子。

$\square$

答案：D

詳解：

設

的交點為

。不妨設，

。

根據題意可知：

而題目所求

$AD=\sqrt{a^2+d^2}$

$AD=\sqrt{a^2+d^2}=\boxed{\sqrt{2018^2+2}}$

。

$\square$

答案：C

詳解：

不妨設滿足條件的正整數為

$\overline{ab}$

，其中

是除個位數之外的所有數，

為個位數

$0\leq b \leq 9$

。於是，根據題意可知：

$\frac{a}{10a+b}=\frac{1}{14}$

。

於是滿足條件的正整數為：

。

$\square$

答案：E

解析：

一道非常經典的不規則圖形面積計算，有很多種計算方法，我是先計算“葉子”一半的面積：

$(\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 1^2-\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1^2)\cdot12$

$=\boxed{2\pi-3\sqrt{3}}$

。

$\square$

答案：E

解析：

根據

$a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n}$

$a_2=\frac{2016}{2017}$

$a_3=-\frac{1}{2016}$

……

於是，

$2017\div 3=672\cdots1$

$a_{2017}=\boxed{2017}$

。

$\square$

答案：D

解析：

根據“體積比為相似比的立方”可知，每個被切割掉的四面體為原四面體的

$\frac{1}{8}$

，所以剩下的體積為

$1-\frac{1}{8}\cdot 4=\boxed{\frac{1}{2}}$

。

$\square$

答案：E

解析：

設三條邊長為

，根據題意可知：

很容易可知，

$c^2=64\Rightarrow c=8$

於是，

$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}((a+b)^2-(a^2+b^2))=\frac{1}{4}(100-64)=\boxed{9}$

。

$\square$

答案：D

解析：（不知道大家有沒有更好的方法，歡迎交流指正）

答案：A

解析：

根據題意

，這裡我們可以根據

的正負性進行分類討論。不難發現，當

$x\geq 0,y<0$

時滿足題意，此時

。

$x+y=\boxed{1}$

。

$\square$

答案：E

解析：

根據題意

，且

$2^6=64,2^7=128,2^8=256,2^9=512,2^{10}=1024$

所以滿足要求的應該是

下面根據

的取值進行分類討論：

（1）

，不存在；

（2）

，

，

$7\leq 2k \leq 9$

，

，

，有三個滿足題意；

（3）

，

$7\leq 3k\leq9$

，

，

，有八個滿足題意；

（4）

，有四個滿足題意；

（5）

，不存在；

（6）

，不存在；

（7）

，

，有兩個滿足題意；

（8）

，

，有兩個滿足題意；

（9）

，

，有兩個滿足題意；

綜上所述，一共有

$\boxed{3+8+4+2+2+2=21}$

。

$\square$

至此，我們就把2017年Math Kangaroo從15題到24題都分享完了，至於難度如何就看大家自己評價了。有興趣可以去報名參加，關於此項比賽的詳細介紹如下：

想了解更多國際數學競賽真題，可參閱：

標簽：題意答案解析根據 24

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