不要被表象迷惑——共因、共果、條件獨立性與伯克森悖論

自古紅顏多薄命是事實還是謬論？在演藝界，演技和長相真的成反比嗎？游泳溺死人數與冰淇淋銷量有關係嗎？根據日常經驗得出的結論，是否是正確的？

本文將介紹“共因”、“共果”兩個概念，來揭示資料與經驗是如何迷惑人們的。

首先看“共因”：如果事件C同時是事件A和事件B的原因，則稱C是事件A和事件B的共因。如下圖所示。共因會引發虛假的因果關係。

比如，我們經常看到一些“科學研究表明”，說兒童的腳掌長度與閱讀能力成正比。腳掌越長，閱讀能力越強。實際上，腳掌長度與閱讀能力其實沒有因果關係。腳掌與閱讀能力有一個共因“年齡”，年齡越大，腳掌長度越長，閱讀能力也越強。如果一定要研究腳掌與閱讀能力之間的關係，需要在控制年齡這一共因的基礎上，即控制變數法。

共因的存在，引入了虛假的因果關係，即容易使人將相關性當作因果性。類似的例子還有很多，游泳溺死人數和冰淇淋銷量有“天氣炎熱”這一共因，因此不能說冰淇淋銷量增加導致了游泳溺死人數增加；腫瘤患者與手機被廣泛使用背後有“科技發展”這一共因，因此不能貿然說手機的輻射導致腫瘤患者增多。

還有一個更著名的例子是，吸菸是否會導致肺癌？統計學大佬（同時也是老煙鬼）費希爾認為吸菸和肺癌沒有因果關係。他給出的理由是，可能存在一個共因，比如某種基因，使得有這種基因的人，更容易染上抽菸這個毛病，同時有這種基因的人，更容易患上肺癌。後來統計學家透過一系列精巧的實驗，證明了吸菸與肺癌的確存在因果關係，這裡先不細講。

再來看“共果”這一概念。如下圖所示，如果是事件A和事件B同時是事件C的結果，那麼稱事件C為事件A和事件B的共果。

回到最初的問題，演員的演技與長相成反比，很可能是錯覺。如下圖所示，一個點代表一個演員。點均勻地分佈在平面，長相與演技沒有相關性。但是，大眾之所以會關注一個演員，大多是因為該演員要麼長得好看，要麼演技出眾。長得難看又演技差勁的演員不會進入大眾的視線。

因此，如下圖所示，我們熟知的演員都是位於紅線的斜上方，下方的點被篩選出去了。而只看紅線上方的點的話，長相和顏值呈現出負相關的關係。

出現這個錯覺的原理是，顏值高與演技高都會產生“受到關注”這一結果，換句話說，“受到關注”是顏值高與演技高的共果。顏值與演技可能本來就沒有相關關係，但是在控制“受到關注”這一共果的條件下，顏值與演技呈現出負相關關係。這稱為伯克森悖論。

類似的例子還有很多：

比如自古紅顏多薄命——醜且短命的女子一般不會受到關注；

寒門出貴子——家境貧寒且一生平庸的人一般不會受到關注；

帥哥出渣男——不帥且性格不好的男人，在約會之前首先會被篩選出去。

伯克森悖論還能用條件獨立來解釋。條件獨立和獨立是兩個不同的概念。

獨立的概念：若

，則稱事件

相互獨立。

條件獨立的概念：若

，且

，則稱事件

關於事件C條件獨立。

獨立不一定匯出條件獨立，條件獨立也不一定匯出獨立。

長相和演技本來是相互獨立（沒有因果）的，但是在條件“受到關注”這一共果下，長相與演技不構成條件獨立。

有一個例子可以直觀地理解條件獨立（來源於 @無名朔 ）。如下圖所示，有四個小球，一個小球的顏色是深藍+紅色，一個小球的顏色是紅色，一個小球的顏色同時包含深藍+淺藍+紅色，一個小球的顏色是淺藍。

隨機從中抽取一個小球，事件A=小球的顏色包含深藍，事件B=小球的顏色包含淺藍。

因此A與B是獨立的。

如果增加一個條件：在小球包含紅色的條件下，A與B是否獨立？

不構成條件獨立。

忽略共因會產生虛假的因果關係，忽略共果會產生虛假的相關關係。幾百年的科學發展史，“控制變數法”一直是實驗的準則，它能夠將“共因”固定住，更加科學地探索不同因素之間的關係。但如果不小心將“共果”控制住，很可能會將原本毫無關係的事件賦予相關關係。