兩點間的距離公式證明怎麼體現任意兩字呢？如果畫了個圖，那圖本身就包含了一些資訊，不能體現任意吧？

知乎使用者AOW4Fe2022-11-12 12:27:43

你這個問得有點奇怪，不知道是不是我理解的意思。

距離公式可以有很多的定義，更確切的說，距離又可以稱為度量，定義再嚴格一點就是範數，這裡面的區別並不明顯，有些書裡面我並沒有看到對此區別對待。

我們用常見的2範數定義來進行具體的解釋，有d=√（（x1-x2）^2+（y1-y2）^2）為點（x1，y1）與點（x2，y2）之間的距離。

從公式的角度來看，這裡面涉及的幾個量x1，x2，y1，y2均為參量，而不是一個確切給定的座標值，即不是一個確切的數（實數）。參量是未知量，未知則無定數，既然沒有給定，又何談唯一？故可稱任意。

比如說x1可以賦值為1，2或者其他一切人們所要研究數域範圍內的所有數，這樣的情況又為何稱不得任意？參量是未知量，未知量本身就代表著一看可討論事件域中的種種情況，這個“事件域”可以是數域，也可以是向量空間或則其他需要討論的物件範疇，也正是因為物件的不唯一，故用未知量以代之。

至於你舉的影象的例子就更簡單了，圖象上給出了兩點就可以確定一個距離？其實仔細思考就可以發現這是自己的一個慣性思考，因為這裡面還有一些關鍵性的條件被我們預設接受了。

畫面切換到純手工畫座標軸的時候，我們明明把座標軸畫得歪歪扭扭，卻依舊認為那是一條“直線”，座標軸上的點分佈不均，但並不影響我們認為相鄰點之間保持標準單位距離——這不也是我們下意識的自以為然嘛。

再次回到平面上隨意給定的兩點，第一，這是一個幾何影象，幾何影象上的距離定義是什麼？第二，即便我們以自幼便接受的平面幾何知識來做一個知識背景的填充，以“兩點間所連線線段的長度”來充當距離的定義，那這個長度又該如何度量？換句話說，比例尺給了嗎？

另外，實數是一個集合，我們看到的實數軸之所以能夠將平面幾何與實數相聯絡，這實際上是在平面幾何中構建了與實數的同構關係，這裡面涉及到的東西細談起來並非三言兩語，可是這麼多的東西卻在我們從小的教育中當做了一種被預設接受的自然事實。

所以，有些時候我們所能夠看見的問題，是因為我們還有看不見的東西。