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代數數論（8.5）：More about hilbert class field

作者：由 陸zz 發表于 書法時間：2016-12-08

代數數論（八）：Hilbert 94 and class field theory的補完。

關於Class field theory for number field 的一個總結，可見：

https：//www。

math。ucdavis。edu/~osser

man/classes/254a/lectures/32。pdf

https：//www。

math。ucdavis。edu/~osser

man/classes/254a/lectures/33。pdf

https：//www。

math。ucdavis。edu/~osser

man/classes/254a/lectures/34。pdf

利用hilbert class field的存在性，我們可以證明很多有用的關於類數的結論，不過有些來自於個人所思，所以可能會有錯誤，歡迎指正。

——————————————————

上次給出Hilbert class field的定義：

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

而且

①

H_K/K

擴張次數恰好是類數

h_K

②如果L/K處處非分歧Abel擴張，那麼

L \subseteq H_K

(Prop 1)

L/K

有限擴張，那麼

H_KL \subseteq H_L

Pf:

由

H_K/K

處處非分歧Abel擴張，知

H_KL/L

處處非分歧Abel擴張，由②得。

(Cor 1)

如果數域L類數為1，那麼必須

H_K \subseteq L

，對L的任何子域K。

Pf：

H_KL \subseteq H_L =L

(Prop 2)

L/K

有限擴張，如果

（1）

[L:K]

與

h_K

互素

（2）存在一個K中素理想p（或者無窮位v）在L中完全分歧

有一者發生，那麼

h_K | h_L

Pf:

第（1）種情況我們在代數數論（八）：Hilbert 94 and class field theory，L/K galois時已經證過，方法是考慮正合列：

1 \rightarrow Ker(Cl(K) \rightarrow Cl(L)^G) \rightarrow H^1(G,O_L^{\times})\rightarrow \bigoplus_{p|\delta_{L/K}} \mathbb Z/ e_p \mathbb Z \rightarrow Im(I_L^G \rightarrow Cl(L)^G)/Im(Cl(K) \rightarrow Cl(L)^G)\rightarrow 1

可知

Ker(Cl(K) \rightarrow Cl(L)^G)

是

H^1(G,O_L^{\times})

的一個子群，也是Cl（K）的一個子群，所以其中任何一個元素x，都滿足

x^{|G|}=1,x^{h_K}=1

（前者因為

H^1(G,O_L^{\times})

為

[L:K]=|G|

-torsion的，後者因為K的理想類群的階是h_K）

所以x=1（互素），所以

Ker(Cl(K)\rightarrow Cl(L)^G)=0

，有

Cl(K) \hookrightarrow Cl(L)^G \hookrightarrow Cl(L)

，前者是後者子群，自然階整除後者。

一般來說，注意到

[H_K:K]=h_K

（1）發生：

[L:K]

與

h_K

互素，所以

L \cap H_K=K

，所以

[H_KL:L]=[H_K:K]

所以

h_K=[H_K:K]=[H_KL:L]|[H_L:L]=h_L

（由之前

H_KL \subseteq H_L

）

（2）發生：

此時也可以證明

L \cap H_K=K

，同上即得結論。

這是因為考慮p在

K \subseteq L \cap H_K

中分解情況，由於其在L中完全分歧，所以p在

L \cap H_K \subseteq L

中也完全分歧。

但p在

H_K/K

中非分歧（這是Hilbert class field 定義）

所以p在

L \cap H_K \subseteq H_K

也分歧。

那麼p在

K \subseteq L \cap H_K

中

既非分歧又完全分歧

，這force擴張次數=1，即

L \cap H_K=K

。

而無窮位時同理。

(Cor 2 ,來自 Ref)

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

Pf： L total imaginary， K total real ， 所以無窮位都完全分歧（注意到［L：K］=2）。

這個推論將引出Fermat last theorem（FLT）中著名的分解（突然發現我們好像並沒有提過這貨…）：

Fermat last theorem是說

x^n +y^n=z^n , n>2

一定沒有非平凡整數解，從而x，y，z至少一者為0。

只需要考慮證明：

x^p +y^p=z^p

，p奇素數時沒有非平凡整數解即可。

這牽涉到

\mathbb Q(\zeta_p)

的類數

h

，記

h^+

為

\mathbb Q(\zeta_p+\bar \zeta_p)

的類數，那麼由上有

h^+

整除

h

，所以可寫為

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

代數數論（8.5）：More about hilbert class field

並且有兩種case：

case I：x，y，z均與p互素

case ||：x，y，z有一者整除p。

如果

p \not | h

，稱p為正規素數，容易證明此時：

①case I無非平凡解

case ||更難，不過p正規時可以推出強正規（這裡要用到上面的分解式中h^{+}，h^{-}的性質，特別是

p|h^{+} \Rightarrow p|h^{-}

，這步要用到Kummer theory），從而也可以證明

②case ||無非平凡解

最終有：

如果p是正規素數，那麼FLT對n=p成立。

而正規素數的判定可用伯努利數完成，因此可以計算，所以前人驗證了對p=3，5，7，11，…都是對的。

(Cor 3 )

記

\mathbb Q(\zeta_{p^n})

類數為

h_n

，則

h_n |h_{n+1}

Pf：由於p完全分歧。

這個Cor表明如果p不是正規素數，那麼

\mathbb Q(\zeta_{p^n})

的類數也不是1，

h_n |h_{n+1} \Rightarrow h_n \leq h_{n+1}

逐漸增長，對h_n的估計，將把我們引向Z_p extension與巖澤理論。

Ref：

https：//www。

math。ucdavis。edu/~osser

man/classes/254a/lectures/35。pdf

標簽： 分歧  field  類數  Case  Class 

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