直角座標系轉換公式

作者：由宮城浪人發表于書法時間：2020-11-10

其實網上這種公式很多，推導也不難；但其中不少內容有含義不明，甚至是錯誤的情況。所以這裡簡要列舉一下，主要是起一個備忘錄的作用。

設有兩個直角座標系XOY和X‘O’Y‘，它們之間的夾角為θ（逆時針為正），點P與原點之間的向量記為r。設P在兩個座標系中的座標分別為（x， y）和（x’， y‘），那麼有：

$x=rcos(\alpha+\theta)=rcos(\alpha)cos(\theta)-rsin(\alpha)sin(\theta)$

$y=rsin(\alpha+\theta)=rsin(\alpha)cos(\theta)+rcos(\alpha)sin(\theta)$

即：

再加上平移，假設O’在XOY座標系中的位置為（x0， y0），那麼座標轉換公式為：

同樣的，從XOY座標系轉到X‘O’Y‘座標系的公式為：

回到X’O‘Y’轉化成XOY的公式，我們把座標寫成齊次的形式。設點P的座標為

和

，那麼轉化公式可簡化為旋轉矩陣：

$X={ \left[ \begin{array}{ccc} cos\theta & -sin\theta & x_0\\ sin\theta & cos\theta & y_0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]}X$

同樣的，在三維情況下也有類似的公式。假設座標分別圍繞X，Y，Z軸旋轉

$\alpha，\beta，\gamma$

的角度（右手座標系），那麼旋轉矩陣為：

${ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha\\ 0 & sin\alpha & cos\alpha \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} cos\beta & 0 & sin\beta\\ 0 & 1 & 0\\ -sin\beta & 0 & cos\beta \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} cos\gamma & -sin\gamma & 0\\ sin\gamma & cos\gamma & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{c} x$

即為尤拉角公式，注意尤拉角是有旋轉順序的，因為矩陣乘法不滿足交換律！！！

同樣三維的也可以寫成齊次的形式：

${ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\1 \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{cccc} & & &x_0\\ & T & &y_0\\ & & &z_0\\0&0&0&1\end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{c} x$