線性代數一：行列式的計算

作者：由 Lawliet 發表于書法時間：2020-07-14

行列式的解法：

運用行列式的性質進行等值變形化為三角形行列式；

拆成若干易計算的行列式；

展開逐步降階簡化計算；

尋找遞推公式或藉助數學歸納法。（找到遞推公式後，可利用轉置得到的另一個遞推公式組成方程組並消去

#FormatImgID_1# 項即可。）

一、爪型行列式

：

$D_n=\left| \begin{array}{cccc} a_1 & e_2 & e_3 & \cdots & e_n \\ b_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ b_3 & 0 & a_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ b_n & 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{array} \right| =\prod_{i=2}^na_i(a_1-\sum_{j=2}^n\frac{b_je_j}{a_j})$

計算過程

：將除了第一列之外的其他所有列乘以

$(-\frac{b_j}{a_j})$

後加到第一列上，使第一列除了第一行均為零，進而將該行列式變成上三角行列式。

推廣

：每行除主對角線元素外，其餘元素對應相同的行列式均可化為爪型行列式。

二、奇奇怪怪的形式

：

$D_n=\left| \begin{array}{ccccc} \alpha+\beta & \alpha & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \beta & \alpha+\beta & \alpha & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \beta & \alpha+\beta & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha+\beta & \alpha \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \beta & \alpha+\beta \end{array} \right|(\alpha\ne\beta)=\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}$

計算過程

：按第一行進行展開得到

$D_n=(\alpha+\beta)D_{n-1}-\alpha\beta D_{n-2}$

，該遞推公式有兩種變形：

$D_n-\alpha D_{n-1}=\beta(D_{n-1}-\alpha D_{n-2})$

或

$D_n-\beta D_{n-1}=\alpha(D_{n-1}-\beta D_{n-2})$

也即可以把

$D_{n}-\alpha D_{n-1}$

或

$D_{n}-\beta D_{n-1}$

看成等比數列，分別求出首項即得到：

$D_{n}-\alpha D_{n-1}=\beta^n$

和

$D_{n}-\beta D_{n-1}=\alpha^n$

，聯立消去

$D_{n-1}$

可得到結果。

三、範得蒙得行列式

：

$D_n=\left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 &\cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\ \end{array} \right| =\prod_{n\ge i>j\ge 1}(a_i-a_j)\quad (n\ge2)$