f(n)=2n^2-2n+1，使f(n)為完全平方數的正整數解n，為何呈現出近似指數形式的增長？

作者：由知乎使用者發表于書法時間：2015-02-19

匿名使用者2015-02-19 16:48:57

這個題目的解可以化成某個pell方程的形式

然後pell方程有些特殊的性質（比如解的迷之遞推形式）

匿名使用者2015-02-19 23:44:06

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

的基本單位是

$\varepsilon=\sqrt{2}+1$

，因此Pell方程通解對應的n滿足

$2n-1=(\varepsilon^{2m+1}-\varepsilon^{-(2m+1)})/2$

m是正整數。

知乎使用者2015-02-20 13:03:31

題目所述5。82其實是3+2√2，（3，2）是pell方程x^2-2y^2=1的最小整數解。

原方程可化為（2n-1）^2-2g^2=-1，即為上述pell方程的一個變形。

知乎使用者2015-02-20 13:18:47

我看了一下我的題解發現我是用pell方程做的。

關於pell方程可以看看一些初等數論書。

但我很好奇題主是怎麼解決這個10^12次方數量級的問題的。

因為我感覺不會pell方程這題很難算。

拓跋景帆2020-07-24 00:25:28

$2n-1=\frac{(1+\sqrt{2})^{2m+3}+(1-\sqrt{2})^{2m+3}}2(m\ge-1)$

（使用這麼奇怪的offset是因為你給的第0項為4，那1就是第-1項了）

遞推一下右邊這玩意兒一定是個正奇數，因此方程的解

$n_m=\frac{\frac{(1+\sqrt{2})^{2m+3}+(1-\sqrt{2})^{2m+3}}2+1}2(m\ge-1)$

很遺憾，那個常數

你猜錯了，應該是

$\frac{(1+\sqrt{2})^3}4\approx 3.517767$

標簽： Pell 方程遞推題目題解

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